a3第二章 解析函数2.pptVIP

* §3 初等函数 一、指数函数 在复平面定义的指数函数f(z)满足： i) f(z)在复平面上处处解析； ii) f ?(z)=f(z)；iii)当Im(z)=0时，f(z)=ex。 对于任意复数z=x+iy，定义指数函数 expz=ez=exeiy=ex(cosy+isiny) 注：指数函数expz常写成ez，但ez 没有幂的含意。 显然|ez|=ex，Argez=y+2k? (k是整数) 指数函数ez的主要性质 1）对任意复数z，ez≠0； 2）对任意两个复数z1，z2有： 3）ez是以2?i为周期的函数 ez+2πi=ex+(2π+y)i =ex[cos(2?+y)+isin(2?+y)]=ez ； 4）(ez )?=ez ，且在全平面上可导，在全平面上解析。 事实上： ez=u(x,y)+iv(x,y)， u(x,y)=excosy，v(x,y)=exsiny在全平面上可微，并满足C-R条件 所以 ez在全平面上解析函数，且 ez=exeiy=ex(cosy+isiny) 二、对数函数 对数函数w=Lnz是指数函数z=ew 的反函数。 求z=ew的反函数，就可得出w=Lnz的表达式。 ∵ z=ew 即 |z|eiArgz=eu+iv 对数函数 w=Lnz=ln|z|+i(argz+2kπ)，（k ?Z）。 对数函数有无穷多个分支,是多值函数。 设 z=|z|eiArgz，ew=eu+iv， ∴ w=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2kπ)（k ? Z）,-πargz≤π 比较等式两边，有 eu=|z|，u=ln|z|；v=Argz 对于每个固定的k值 (Lnz)k = ln|z|+i(argz+2kπ)，（k=0,?1,?2,…..）。 称为Lnz的第k个（单值）分支； k=0时，称为Lnz的主值，记作： lnz=ln|z|+iargz。 对数函数的积与商，有下列性质。 i) Ln（z1z2）=Lnz1+Lnz2 事实上 Ln(z1z2)=ln|z1z2|+iArgz1z2 =ln|z1|+ln|z2|+i(Argz1+Argz2)=Lnz1+Lnz2 . 设z1,z2均不为零， 事实上 注 以上公式应理解为“任取等式右端的一个分支以后， 等式的左端就有一个分支与之对应”。 研究单个分支（Lnz）k = u(x,y)+iv(x,y)是否连续？可导？ 事实上，设z=x+iy，ln|z|仅在z=0处不连续；而幅角argz在原点和 负实轴上不连续 : 由反函数的求导法则可知 任何分支的导数值都相等，即 (Lnz)k′=1/z。k?Z。 故 对数函数ω=Lnz在除去原点及负实轴的复平面上解析。 对数函数的解析性 (Lnz)k=ln|z|+i(argz+2kπ)在区域 -πargzπ内连续。 故（Lnz）k在除去原点及负实轴的平面上处处连续。 举例：1）求Ln2，Ln(-1)及它们的主值。 2）设对数函数w=Lnz的一个分支使wk(i)=(5/2)?i， 求w(-2i)的值。 Ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1)+2kπ)=πi+2kπi=(2k+1)πi， 主值：ln(-1)=πi（复变函数中，负数仍有对数）。 解：Ln2=ln2+i(arg2+2kπ)=ln2+i2kπ(arg2=0)，主值：ln2。 解 ∵wk=(Lnz)k=ln|z|+i(argz+2kπ) wk(i)=i(?/2+2k?) , 由题意 : wk(i)=(5/2)?i， ∴ 要求的分支是k=1: (Lnz)1=ln|z|+i(argz+2?) w(-2i)=ln2+i(-?/2+2?)=ln2+(3/2)?i . 三、幂函数（实幂函数x? =e ? lnx的推广） 对任意复数?，z≠0时，在复平面上定义幂函数为 zα=eαLnz=eα(ln|z|+i(argz+2k?)) (k∈Z) 由于Lnz的多值性，所以z?是一个多值函数。当z=0，?是正实数时，才规定 z? =0。 幂函数的性质（n是正整数） 1. 当?=n时，zα=zn是单值函数。 事实上，由幂函数的定义 zn=enLnz=en(ln|z|+i(argz+2kπ))=en(ln|z|+iargz) =|z|neinargz=zn eni(2kπ)=1 2. 当?=-n时，zα=1/zn =|z|-n e-inargz. 3.当?=1/n时， 。 事实上 z? = e(1/n)Lnz=e(1/n)(ln|z|+i(argz+2kπ)) 它只