3-5解析函数的高阶导数.pptVIP

CH1_ §5 解析函数的高阶导数 * 设 为 的解析域 内任意一点， 定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 阶导数为： 其中 为函数 的解析域内的环绕 正向简单闭 曲线， ［证］ 为 内环绕 的一条正向简单闭曲线， 我们先证 情况， 的内部仍在 的解析域内。 且 的内部仍 在 内， 且 即 根据定义 由柯西积分公式 其中 在曲线 的内部。 从而有 记 则 设 为 到 上的点的最短 距离， 选取适当小的 使 由于 在 上连续，从而在 上有界，即存在正数 使得： 因此， 当 时，有 所以 其中 为 的弧长， 令 则 从而 同理，我们可以利用 及其 的推导方法 求极限 至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。 得 利用归纳法，类似 的推导可得： 例1 计算下列积分 1） 其中 为正向圆周： 解 原式 1） 高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导， 而是通过求导而求积分。 说明：