两类非线性偏微分方程精确行波解研究.pdf

摘 要 摘 要 物理学家爱因斯坦曾预言：“由于物理学的基本方程都是非线性的，因此所有的 数学物理都必须从头研究”．非线性科学在20世纪的自然科学领域中取得了重大发展， 是现代科学研究的核心内容．作为非线性科学研究领域中的一个重要分支，非线性偏 微分方程已成为前沿领域的研究热点，其中求解非线性偏微分方程的精确解具有非常 重要的理论和实践意义． 本文的主要研究内容为： 8 第一章简要的对孤立子理论的发展史及其基本性质做了介绍，着重介绍了 种求 解非线性偏微分方程孤立波解的方法，如：Bäcklund变换法、反散射方法、Tanh函数 Jacobi Fan Fan 法、齐次平衡法、 椭圆函数法、首次积分法、 子方程法以及推广的 子 方程法等．最后简单介绍了本文的主要工作及研究意义． 第二章主要利用Fan 子方程法研究“正则长波方程”，先做一步行波变换将非线 性偏微分方程转化为常微分方程，通过求这个常微分方程的精确解近一步得到原方程 的精确解，再利用符号计算软件Maple画出相应的波形图． 第三章先做一个变换将“（2+1）维Kaup-Kupershmidt方程”转化为一个非线性方 Fan 30 程组，再利用 子方程法求解该方程组，从而可以得到该方程的 组精确解，最 后给出了几组波形图． 第四章总结本文的主要工作，并制定以后的研究方向及目标． 关键词：孤立子；非线性偏微分方程；Fan 子方程法；精确解 I Abstract Abstract Abstract AAbbssttrraacctt Physicist Einstein predicted: “Due to the fundamental equations of physics are nonlinear, so all the mathematical physics must be from the beginning”. Nonlinear science, the core content of modern scientific research, has achieved great development in the field of natural science in the 20th century. As an important branch of nonlinear science, the nonlinear partial differential equation has became one of the focuses in cutting-edge research, where solving the exact solutions of nonlinear partial differential equations has veryimportanttheoreticalandpracticalsignificance. Themainresearchwork ofthisdissertation isas follows: In Chapter 1, we provide a brief introduction to the development history and the basic properties