《§22.2一元二次方程的解法》.doc

§22.2一元二次方程的解法 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4； （2）x2－1＝0; 概　括 对于第（1）个方程，有这样的解法： 方程　　　　　　　　x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 , 即　　　　　　　　　　　　x=2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有　　　　　　　　　　　x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思　考 方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它 化成什么形式？ 方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先 应将它化成什么形式？ 做一做　试用两种方法解方程 x2－900＝0. 解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解（1）移项，得 x2＝2. 直接开平方，得 . 所以原方程的解是　　，. （2）移项，得 16x2＝25. 方程两边都除以16，得 x2＝. 直接开平方，得 x＝. 所以原方程的解是　，　. 解下列方程： （1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x. 解（1）方程左边分解因式，得 x(3x＋2)=0. 所以　　　　　 　x＝0，或3x＋2＝0. 原方程的解是　 　x1＝0，x2＝. （2）原方程即 x2－3x=0. 方程左边分解因式，得 x(x－3)＝0. 所以　 x＝0，或x－3＝0, 原方程的解是　　 　 x1＝0，x2＝3. 练　习 解下列方程： （1）x2＝169；　　　　　　　　（2）45－x2＝0；　 （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t+1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0. 小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？ 例3解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分　析　两个方程都可以转化为 2＝a 的形式，从而用直接开平方法求解. 解　（1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得 x＋1＝±2. 所以原方程的解是　　x1＝1，x2＝－3. 原方程可以变形为 ________________________， 有　　　　________________________. 所以原方程的解是　x1＝________，x2＝_________. 读一读 小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x＋2)(x－6)＝0, 所以 　　　　　　　　　　 3x＋2＝0,或x－6＝0. 方程的两个解为　　　　　　　x1＝，x2＝6. 小林的解法是这样的： 移项，得　　　　　　　　x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6. 小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 练　习 解下列方程： （1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0. 例4解下列方程： x2＋2x＝5； x2－4x＋3＝0. 思　考 能否经过适当变形，将它们转化为 2＝a 的形式，应用直接开方法求解？ 解（1）原方程化为x2＋2x＋1＝6， _____________________, _____________________, _____________________. （2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4 _____________________, _____________________, _____________________. 归　纳 上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例5用配方法解下列方程： （1）x2－6x－7＝0；　　　　　（2）x2＋3x＋1＝0. 解（1）移项，得 x2－6x＝7. 方程左边配方，得 x2－2·x·3＋32＝7＋32， 即 （x－3）2＝16. 所以 x－3＝±4. 原方程的解是　　　　　　　x1＝7，x2＝－1. （