《一元二次方程归纳》.doc

本大节内容是初中数学的重点，也是学习许多后续知识的基础.对这部分内容，学习和考查的重点知识大致可分以下几类： 一、定义类 1、一元二次方程的定义 （1）从概念分析应具备三个条件：“一元”、“二次”、“整式”方程. （2）从形式上，应先将一个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c=0的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a=0时，它是一元一次方程. （3）从题目的语言表述中，对于方程ax2+bx+c=0的说明文字具有下列三者之一，即可认定它是一元二次方程：“一元二次方程”、“a≠0”或表明方程有两个实数根. 2、一元二次方程的根的定义 定义可以当作性质定理使用，即若有数m是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则m必然满足该方程，将m代入该方程，便有am2+bm+c=0；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m能使am2+bm+c=0成立，则m一定是ax2+bx+c=0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果. 二、解法类 一元二次方程的解法主要有四种，应按照方程特点选用适当的解法. （1）因式分解法是最常用的方法.一般情况下，如果一元二次方程ax2+bx+c=0中等号左边的部分比较容易分解，那么优先选用因式分解法. （2）公式法是一种“万能”方法，在因式分解法不能轻易奏效时，往往用公式法.使用该法，要先将方程整理成ax2+bx+c=0的一般形式. （3）直接开平方法适用于形如a(x+m)2+b=0（a≠0）的形式的一元二次方程，解时先将其变形为(x+m)2=-b/a的形式，再利用平方根的定义解答. （4）配方法是一种重要的数学方法，它是推导一元二次方程求根公式的基础，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，如果b是a的偶数倍，使用此法也较简单. 不管用哪种方法解答，通常要将方程的系数进行化简，使之成为不便再约的简单系数，使计算更简洁. 三、定理类 1、一元二次方程的根的判别式（Δ=b2-4ac）的性质定理及其逆定理.应用它们主要解答三种题目： （1）不解方程，判断根的情况； （2）已知方程的根的情况，据此列出用Δ表达的等式或不等式，求出方程中所含的字母系数的值或取值范围； （3）证明方程的根具有某种情况，常要对表示Δ的代数式进行配方或因式分解，以便判断它的值与0的大小关系. 使用该定理注意两点：其一，“方程有两个实数根”等价于Δ≥0，而不是Δ＞0；其二，方程有两个实数根（Δ≥0）的前提是原方程为一元二次方程，保证二次项系数a≠0. 2、一元二次方程的根与系数的关系定理及其逆定理（“韦达定理”）. 其最根本的用途是用代数式表达出关于两根的对称式，这是由于两数之和、两数之积是最简单、最基本的对称式的缘故，所有对称式，都能用这两个基本对称式表示出来.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则x1+x2=-b/a, x1·x2=c/a. 关于两根x1、x2 的常见对称式重点掌握三个： （1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2； （2）1/x1+1/x2=（x1+x2）/x1x2； （3）|x1-x2|= . 特别需要注意的是：该定理的使用前提是方程有两个实数根，因此还应保证原方程为一元二次方程.这三者之间的关系如下图所示的三层楼结构，不能出现“空中楼阁”的现象.所以，使用该定理解题，一定要用Δ≥0与a≠0检验. 四、应用类 一元二次方程应用题的解题思路、方法、格式等，与以前所学的方程应用题基本一样，主要差别在于所列方程为一元二次方程，得到的两个根，要从实际意义的角度进行检验，舍去不合题意的根.其它内容可以用类比思想和转化思想，对照一元一次方程学习. 1、若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是_______. 2、若x1,x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根，则1/x1+1/x2的值是( ) (A)-1; (B)0; (C)1; (D)2. 3、（宁夏）编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答. 编题要求： （1）题目完整，题意清楚。 （2）题意与方程的解都要符合实际。 分析：本题旨在训练逆向思维能力和语言表达能力，具有较强的开放性。一般可以先确定一个方程，比如100(1+x)2=144,再据此编题。 4、（湖南邵阳）如图1-1，在宽为20米，长为32米的矩形耕地上，修筑三条同样宽的耕作道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，要使耕地面积为504平方米，道路宽应为多少？ 5、（江苏盐城）已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0①与x2- (2