《一元二次方程概念及解法》.doc

东方教育学科教师辅导讲义模板 讲义编号 学员编号： 年 级：初二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期 教务长签名及日期 课 题 一元二次方程的概念及解法 授课时间： 备课时间： 教学目标 明确一元二次方程的概念和一般式 了解一元二次方程的根的意义 掌握一元二次方程的解法 重点、难点 一元二次方程概念的理解及一元二次方程的解法 考点及考试要求 一元二次方程概念的理解、一元二次方程的求解和应用 教学内容 教学过程设计 新课导入 一、一元二次方程 1、一元二次方程的概念 一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？ 解：设这块长方形绿地的宽为x米，根据题意，得方程 x(x+10)=1200 整理得x+10x-1200=0 观察上面的式子可知：x+10x-1200=0含有一个未知数为一元方程，但是未知数的最高次数为2，这里，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数位2的整式方程叫做一元二次方程，形如：ax2+bx+c=0(a≠0)。 练习1 判断下面的方程，哪些为一元二次方程？ (1) x2+2x-y=0;（2）; (3); (4) x2-16=0;(5) 3x2+4x-5=3x2;(7) 2y2+3y+1=0 2、一元二次方程的一般式 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般式，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 练习5 方程5x2=6x-8化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 一般式：5x2-6x+8=0；二次项系数5，一次项系数-6，常数项8 （提示学生注意系数的符号问题并阐明将一元二次方程化成一般式的原因） 3、一元二次方程根的意义 只含有一个未知数的方程，它的解叫做方程的根。判断未知数的一个值是不是这个方程的根可以将这个值带入方程中检验。 练习3 下列个方程后面括号内的数，哪些是这个方程的解？ （1） （2） 练习4 如果m是方程x2-x-1=0的一个根，那么m（m-1）=（ ） 练习2 若关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0有个根为0，则a=（ ） 二、一元二次方程的解法 （1）特殊的一元二次方程的解法 对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，则可使用直接开平方法求它的根。d0时，x有二个不相等的根：x1=√d，x√d；d=0时，x1=x2=0。 练习6 用开平方法解下列方程： （1）9x2-4=0；（2）5x2=8；（3)（x+5)2-49=0 你还能用其他方法解练习6中的方程吗？ 利用因式分解的平方差公式：a2-b2=（a-b)(a+b)可知： （x+5)2-49=0 （x+5)2-72=0 （x+5+7）（x+5-7）=0 得： x1=-12，x2=2 以上这种方法称之为因式分解法。因式分解法的条件： 一元二次方程的一边是零 一元二次方程的另一边可以分解成二个一次因式 练习7 解下列方程 (1) x2+6x=0; （2）2x（x-2）=x2+5. 一般的一元二次方程的解法 那么x2+6x+2=0能不能也用直接开平方法或因式分解法去解决呢？很显然不行，经过观察，发现x2+6x+9是一个完全平方式，给等式二边同时加上常数7，得到（x+3）2=7，可用直接开平方法解方程。我们把这种方法称之为配方法。 对于一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)，运用配方法解方程得到： (x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2,若b2-4ac≥0，一元二次方程存在二个根x1和x2。 当b2-4ac＞0时， 当b2-4ac=0时 X1=（-b+√b2-4ac）/2a x1=x2=-b/2a X2=（-b-√b2-4ac）/2a （一元二次方程的解与方程的各项系数密切相关，因此各项系数以及其符号的确定至关重要）因为所有的一元二次方程都可以化成一般式的形式，所以上式又可以称之为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，将一元二次方程化成一般式即可运用求根公式直接得出方程的解，我们把这种解方程的方式成为公式法。 分析四种一元二次方程解法的优劣性：因式分解法高效准确，但有局限性；配方法若一次项系数为奇数则配出的常数