《03春季高考(北京理)》.doc

2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷） 参考公式： 三角函数的积化和差公式 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合 A． B． C． D． 2．若，则方程的根是 A． B．－ C．2 D．－2 3．设复数 A． B． C． D．－ 4．函数的最大值是 A． B． C． D． 5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是 6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 7．椭圆为参数）的焦点坐标为 A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0） C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0） 8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 A．90° B．60° C．45° D．0° 9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 A．42 B．30 C．20 D．12 10．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于 A．8 B．2 C．－4 D．－8 12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 A．95 B．91 C．88 D．75 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有 适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水 面高度恰好升高r，则 . 14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 15．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 . 16．若存在常数，使得函数的一个正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解不等式： 18．（本小题满分12分） 已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 19．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G. （Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d； （Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V. 20．（本小题满分12分） 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21．（本小题满分13分） 如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为. （Ⅰ）证明是等比数列； （Ⅱ）求的值. 22．（本小题满分13分） 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程； （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点. （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种