《2007年高考试题——数学理(北京卷)》.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知，那么角是（　　） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数的反函数的定义域为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．平面平面的一个充分条件是（　　） Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．记者要为5名志愿和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或 7．如果正数满足，那么（　　） Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假： 命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数； 命题丙：在上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　） Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第II卷（共110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9． ． 10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项． 11．在中，若，，，则 ． 12．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ． 14．已知函数，分别由下表给出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列． （I）求的值； （II）求的通项公式． 16．（本小题共14分） 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上． （I）求证：平面平面； （II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小； （III）求与平面所成角的最大值． 17．（本小题共14分） 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望． 19．（本小题共13分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积的最大值． 20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （II）对任何具有性质的集合，证明：； （I