第3讲_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.docVIP

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分： 直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0； 直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0； 直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名　称 意　义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0 C．2x－y－3≤0 D．2x－y－3≥0 解析　将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0. 答案　B 2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(　　)． A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 解析　逐一代入得点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内． 答案　C 3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是(　　)． A. B. C. D. 解析　两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0. 将原点(0,0)代入x＋y－1得－1＜0， 代入x－2y＋2得2＞0， 即点(0,0)在x－2y＋2≥0的内部， 在x＋y－1≤0的外部， 故所求二元一次不等式组为 答案　A 4．(2011·安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　　)． A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 解析　法一　特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，排除D，故选B. 法二　直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2. 答案　B 5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是________． 答案　 考向一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例1】(2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)．A．0个 B．1个 C．2个 D．