【名师名校典型题】2014高考数学二轮复习名师知识点总结：不等式及线性规划.docVIP

不等式及线性规划 1． 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形0(0)?f(x)g(x)0(0)； ②变形≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)； ②当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)． (4)简单对数不等式的解法 ①当a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0； ②当0a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0. 2． 五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)． (3)≥(a0，b0)． (4)ab≤()2(a，b∈R)． (5) ≥≥≥(a0，b0)． 3． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4． 两个常用结论 (1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是 考点一　一元二次不等式的解法 例1　(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 答案　9 解析　由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝. ∴f(x)＝2. 又∵f(x)c.∴2c， 即－－x－＋. ∴ ②－①，得2＝6，∴c＝9.[来源:Z#xx#k.Com] 二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法． (1)已知p：x0∈R，mx＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋10.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．[－2,0) C．(－2,0) D．[0,2] (2)设命题p：{x|0≤2x－1≤1}，命题q：{x|x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)≤0}，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________． 答案　(1)C　(2) 解析　(1)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m0；命题q为真时，Δ＝m2－40，解得－2m2.故p∧q为真时，－2m0. (2)p：{x|≤x≤1}，q：{x|k≤x≤k＋1}， 由pq且qD/p，则， ∴0≤k≤，即k的取值范围是. 考点二　利用基本不等式求最值问题 例2　(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A. B. C．5 D．6 (2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________． 答案　(1)C　(2) 解析　(1)∵x0，y0，由x＋3y＝5xy得＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝ ＝＋≥＋×2 ＝5(当且仅当x＝2y时取等号)， ∴3x＋4y的最小值为5. (2)方法一　∵4x2＋y2＋xy＝1， ∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1， ∴(2x＋y)2－·2≤1，解之得(2x＋y)2≤， 即2x＋y≤. 等号当且仅当2x＝y0，即x＝，y＝时成立． 方法二　令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1， 得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数， 故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤， 即－≤t≤，即t的最大值也就是2x＋y的最大值为. 方法三　化已知4x2＋y2＋xy＝1为2＋2＝1，令2x＋y＝cos α，y＝sin α，则y＝sin α，则2x＋y＝2x＋y＋y＝cos α＋sin α＝sin(α＋φ)≤. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件． (1)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实