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高考递推数列分类 类型1：渗透三角函数周期性 数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。 例1（2008年湖南卷，18，满分12分） 数列{an}满足a1=1，a2=2， 求a3，a4,并求数列{an}的通项公式； 例2（2009年江西，文，21，满分12分） 数列{an}的通项，其前n项和为 （1）求sn； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn 例3（2009年江西，理8，5分） 数列{an}的通项，其前n项和为sn，则sn为（ ） A．470 B．490 C．495 D．510 类型2：an+1=an+f(n) 例4（2008，江西，理5） 在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln,则an= 例5（2009，全国I，理22） 在数列{an}中，a1=1,an+1= （1）设，求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和。 类型3：an+1=f(n)an 解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解 例6（2004，全国I，理15） 已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____ 类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p－1)≠0） 解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。 例7（2008年，安徽，文21） 设数列{an}满足a1 =a,an +1=c an +1－c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0 求数列{an}的通项公式； 类型4的变式：an+1=pan+f(n) 解法思路：通过构造新数列{bn}，消去f(n)带来的差异，例如下面的 类型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数） 解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列{bn}（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列 例8（2006，全国I，理22，12分） 设数列{an}的前n项的和 求首项a1与通项an。 例9（2009，全国II，理19） 设数列{an}的前n项的和 （1）设，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式。 类型6：（其中p，q均为常熟）。 解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为， 其中s, t满足 解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列{an}，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列{an}的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。 例10（2006，福建，文22） 已知数列{an}满足=1,=3，（）。 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若数列{bn}满足（），证明{bn}是等差数列 类型7 递推公式为Sn与的关系式（或Sn） 解法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。 例11.（2009，湖北，理，19） 已知数列{an}的前项和Sn= --+2（为正整数），令=，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式 例12 （2008，全国II，理，20） 设数列{an}的前n项和为Sn，已知=,=Sn+（）, （Ⅰ）设=-，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若≥（），求的取值范围。 类型8 an+1=pan+an+b(p≠1,a≠0) 解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列， 即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。 例13.（2006山东，文，22） 已知数列{an}中，=，点在直线上，其中 （Ⅰ）令，求证数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项。 类型9 （p＞0, ＞0），再利用待定系数法求解。 例14（2005，江西，理，21） 已知数列{an}的各项都是正数，且满足： 求数列的{an}通项公式 例15（2006，山东，理，22） 已知，点在函数的图像上，其中证明数列 是等比数列 类型10 解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分） 已知数列满足： 求数列的通项公式； 类型11 解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，（其中p、q、