第一部分 第一章 1.1 1.1.2 余弦定理.ppt

[例3]　 12分 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B ＝2bccos B·cos C．试判断△ABC的形状． [思路点拨]　思路有二：一是利用余弦定理将已知式化为边的关系；一是利用正弦定理将已知式化为角的关系． [一点通]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状． 5．在△ABC中，已知sin A＝2cos B·sin C，则△ABC是 A．直角三角形　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定 法二：sin A＝2cos B·sin C?sin B＋C ＝2cos Bsin C ?sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C ?sin B·cos C－cos B·sin C＝0?sin B－C ＝0. 可知－π B－C π.∴B－C＝0.∴B＝C. 故△ABC为等腰三角形． 答案：B 6．在△ABC中，若 a－c·cos B ·sin B ＝ b－c·cos A ·sin A，判断△ABC的形状． 1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量． 2．在已知两边与其中一边的对角时，即可先用余弦定理求边，再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续求解．而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边为正来判断解的个数． 3．因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系，而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角．有时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察． 点击下图进入 返回 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余 弦 定 理 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第一章 解三角形 考点一 考点二 考点三 △ABC中，若AC＝2，BC＝3，C＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定． 问题2：能否直接利用正弦定理求得AB? 提示：不能． 问题3：能否利用平面向量求边AB？如何求得？ 提示：能． ∵ ＝ ＋ ， ∴| |2＝| |2＋| |2＋2 · ＝| |2＋| |2－2| || |cos∠ACB ＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴| |＝ . 问题4：由问题3的推导方法，能否用b，c，A表示a? 提示：能． 1．余弦定理 文字表述 公式表达 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 a2＝ b2＝ c2＝ b2＋c2－2bc·cosA a2＋c2－2ac·cosB a2＋b2－2ab·cosC 对余弦定理的理解 1 适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． 2 结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． 3 揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． 4 主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． [答案]　A [一点通]　由余弦定理求角的余弦值或确定角的方法 1 结合已知条件寻找三边之间的比例关系； 2 结合比例关系通过余弦定理的推论可求相应角的余弦值，进而可确定角的大小． 1．已知△ABC中， a＋b＋c a＋b－c ＝3ab，则 角C＝________. 答案：60° [思路点拨]　解答 1 可先利用余弦定理推论求得其中两个角的余弦值，从而得出这两个角的大小，然后根据三角形内角和定理可得第三个角；解答 2 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C. [一点通]　适合用余弦定理求解的三角形主要有两类 1 已知三边，求三角，一般利用余弦定理的推论先求出 两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角． 2 已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况： ①已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再 求出其他角，可免去判断取舍的麻烦． ②已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边， 然后应用正弦定理求出另两角．