2. 等差数列及其前n项和.ppt

阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误 单击此处进入 活页限时训练 第2讲　等差数列及其前n项和 同一个常数 2 公差 d a1＋(n－1)d (n－m)d am＋an＝ap＋aq md 最大值 最小值 【2013年高考会这样考】 1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．【复习指导】 1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 基础梳理 1．等差数列的定义 如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝. 3．等差中项 如果 A＝ ，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，mN*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则 (m，n，p，qN*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，mN*)是公差为的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 5．等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝ na1＋d . 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．最值问题 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在，若a1＜0，d＞0，则Sn存在． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， ①＋得：Sn＝. 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，nN*)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn. 注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7 解析　a2＋a8＝2a5，a5＝6. 答案　C 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)． A．31 B．32 C．33 D．34 解析　由已知可得解得 S8＝8a1＋d＝32. 答案　B 3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝(　　)． A．1 B．9 C．10 D．55 解析　由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 答案　A 4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)． A．13 B．35 C．49 D．63 解析　a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，S7＝＝49. 答案　C 5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 解析　设公差为d. 则a5－a2＝3d＝6， a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案　13 考向一　等差数列基本量的计算 【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． [审题视点] 第(1)问，求公差d； 第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝＝2n－n2. 进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35