11.2余弦定理.docxVIP

11.2余弦定理 一、填空题 1．已知△ABC中， A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________． 2．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是________． 3．若△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，则面积S的取值范围是________． 4．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＝________． 5．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________． 二、解答题 1．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△． 2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a． 3．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，a2＋b2＝c2＋ab，求A． 4．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值． 5．已知a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角． 参考答案 一、填空题 1．　 分析：∵　 A＝60°， ∴　最大边和最小边所夹的角为A，AB、AC为x2-9x＋8＝0的两个正实数根， 则AB＋AC＝9，AB×AC＝8 ∴BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA) ＝92-2×8×＝57 2．-　 分析：先由c2＝a2＋b2-2abcosC求出c＝3，∴　最大边为b，最大角为B， ∴　cosB＝． 3．(0，　 分析：S△ABC＝absinC＝ab＝ (0a1)可得0S△ABC≤． 4．1　 分析：∵　∠C＝60°，∴　cosC＝， ∴　a2＋b2＝c2＋ab， ∴　a2＋ac＋b2＋bc＝c2＋ab＋ac＋bc ∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝c(c＋a)＋b(a＋c) ∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝(c＋a)(b＋c) ∴　＝1 5．4或5　 分析：设BC＝x，则5＝x2＋25-2·5·x·， 即x2-9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5． 二、解答题 1．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49． ∴　b＝7， S△＝acsinB＝×3×2×＝． 2．解：由S△ABC＝bcsinA，得 12＝×48×sinA ∴　sinA＝ ∴　A＝60°或A＝120° a2＝b2＋c2-2bccosA ＝(b-c)2＋2bc(1-cosA) ＝4＋2×48×(1-cosA) 当A＝60°时，a2＝52，a＝2 当A＝120°时，a2＝148，a＝2 3．解：∵　a2＋b2＝c2＋ab ∴　 ∴　cosC＝ ∴　C＝45° 由正弦定理可得 ∴　sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB ∴　sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB ∴　sin(B＋C)＝2sinAcosB ∴　sinA＝2sinAcosB ∵　sinA≠0 ∴　cosB＝ ∴　B＝60°，∴　A＝180°-45°-60??＝75° 4．解：∵　S＝a2-(b-c)2 又S＝bcsinA ∴　bcsinA＝a2-(b-c)2 ∴　(4-sinA) ∴　cosA＝(4-sinA) ∴　sinA＝4(1-cosA) ∴　2sin ∴　tan ∴　sinA＝ ∴　c＝b＝4时，S最大为 5．解：∵　a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0 由上述两式相加，相减可得 c＝(a2＋3)，b＝(a-3)(a＋1) ∴　c-b＝(a＋3) ∵　a＋3＞0，∴　c＞b c-a＝(a2＋3)-a＝(a2-4a＋3)＝(a-3)(a-1) ∵　b＝(a-3)(a＋1)＞0，∴　a＞3 ∴　(a-3)(a-1)＞0 ∴　c＞a ∴　c边最大，C为最大角 ∴　cosC＝ ∴　△ABC的最大角C为120°