2.2 最大和最小值问题.pptVIP

Copyright ? by ARTCOM PT All rights reserved. www.art-com.co.kr Company Logo 如果在函数定义域内存在一点x0,使得对定义域内的任何一个数x,总有f(x) ≤f(x0)（或f(x) ≥f(x0)）,则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(或最小值). 2.在定义域内, 最值唯一，极值不唯一; 3.极大值不一定比极小值大，而最大值一定比最小值大. 1.函数的极值是局部概念,而最值是一个整体概念； x x2 0 a x3 b x1 y 观察右边定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题提出：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出它的最小值和最大值呢？ 求函数 y=f(x) 在区间[a,b]内的最大值和最小值，分以下几个步骤： (1)求函数 y=f(x)在区间(a,b)内极值； (3)将函数的极值与 f(a)和 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求端点处的函数值 f(a) 和 f(b) ； 例4.求函数y = f(x) = x3 - 2x2 + 5 在区间[-2，2]上的最大值和最小值. 解: f′(x) = 3x2 – 4x = x( 3x – 4 ) 令 f′(x) = 0, 得 x1 = 0, x2 = 4/3 由 x1, x2 列表可得： y=f(x) f′(x) 2 (4/3,2) 4/3 (0,4/3) 0 (-2,0) -2 x 20 由上表得: 最大值是 f(2) = 5,最小值是 f(-2)= -11 + 0 - + 0 4 -11 ↗ ↗ ↘ 5 极大值 5 极小值103/27 例5：一边长为48cm的正方形铁皮，四角切去相等的小正方形，然后折起，做成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：cm3）是关于截去的小正方形的边长x（单位:cm）的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)x为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ x x 解:(1)由题意得: V = f(x) = (48-2x)2x (0﹤x﹤24) f′(x) = -4x(48-2x)+(48-2x)2 = 12(x-24)(x-8) 令 f′(x) = 0, 得 x1= 8, x2= 24