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1.3.1.2 函数的最大值、最小值
第2课时 函数的最大值、最小值 1.通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。 2.会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。 3.了解函数最值在实际中的应用,会求简单的函数的最值。 观察下列函数的图象,找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。 最低点的坐标是(0,0) 最高点的坐标是(0,0) 如何使用函数的解析式和数学语言 刻画函数图象的最低点和最高点?即如何用“数”刻画“形”? 最小值的“形”的定义:当一个函数f(x)的图象有最低点时,我们就说这个函数有最小值。当函数图象没有最低点时我们说这个函数没有最小值。 函数图象最低点的数的刻画:函数图象在最低点处 的函数值是函数在整个定义域上最小的值。对于函 数 而言,即对于函数定义域中任意的 ,都有 . 函数图象最高点的数的刻画:函数图象在最高点处 的函数值是函数在整个定义域上最大的值。对应函数 而言,即对于任意的 ,都有 函数最大值的“形”的定义:当函数图象有最高点,我们就说这个函数有最大值。当函数图象无最高点时,我们说这个函数没有最大值。 探究点1 函数最大(小)值的数的定义 函数最大值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对任意的 ,都有 ; (2)存在 ,使得 。 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值。 请同学们仿此给出函数最小值的定义 函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数N满足: (1)对任意是 ,都有 ; (2)存在 ,使得 。 那么,我们就称N是函数y=f(x)的最小值。 探究点2 对函数最值的理解 1.函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在 使得 。并不是满足所有满足 的函数 都有最大值。如函数 ,虽然对定义 域上的任意自变量都有 ,但不存在自变量使得函 数值等于1. 2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质,即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。 探究点3 例题解析 例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期 望它在达到最高点爆裂。如果烟花离地面的高度h m与时 间t s之间的关系为 ,那么烟花 冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻?这时离地面的高度是多 少(精确到1 m)? 分析:烟花的高度是时间的二次函数,根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值,以及这个最大值是多少。 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度。 解:画出这个函数 根据二次函数的知识,对于函数 我们有: 于是,烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻,此时距底面的高度约为29m. 例4.已知函数 ,求这个函数的最大值和最小值。 【分析】这个函数在区间[2,6]上,显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大,因此函数值随着自变量的增大而减少,也就是说这个函数在区间[2,6]上是减函数,因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。 【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明,然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分,证明函数在[2,6]上是减函数,求这个函数的最大值和最小值。 解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2 所以,函数 是区间[2,6]上的减函数。 因此,函数的最大值是f(2)=2,最小值是f(6)=0.4. 1.求函数 在区间[-1,3]的最大值和最小值。 【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数。 【答案】最大值是9,最小值是-3. 2.求函数 在区间[-1,3]上的最大值和最小值。 【提示】根据二次函数的性质,函数在区间[-1,0]上是减函数,在区间(0,3]上是增函数,最小值一定在x=0时取得,最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的。 【答案】最大值9,最小值0. 对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等,今后可以不加证明地使用他们的单调性求函
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