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高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 棱锥、圆锥的体积教案 教学目标1．使学生掌握棱锥、圆锥的体积公式及初步运用进行锥体体积运算；2．使学生进一步树立联系转化的数学思想，进一步提高逻辑推理和图形变换的能力；3．通过本节课教学使学生思维品质（如思维的深刻性、灵活性）受到锻炼．教学重点和难点棱锥、圆锥体积公式推导为重点，以联系转化为主线推导棱锥、圆锥体积公式的过程为难点．教学设计过程师：今天我们研究的课题是棱锥、圆锥的体积．已知：锥体的底面积为S，高为h．求：V锥体 ？（板书课题）这些锥体可以是三棱锥、四棱锥、五棱锥……还可以是圆锥．（教师一边说一边出示小黑板——图1） 师：对于这个课题我们要解决二个问题：1．底面积是S，高是h的锥体体积公式是什么？2．如何推导这个公式？怎么推导锥体体积公式呢？（学生思考片刻后，教师继续引导）师：能不能用体积单位去量？（引导学生从几何体体积度量方法入手考虑问题）生：（摇头示意不成）师：还有什么方法？生：能不能利用祖暅原理？师：是一种方案，如果想用祖暅原理就需要用我们已经知道了体积公式的几何体来比，用哪种几何体呢？生：柱体．师：这些柱体可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱……，还可以是圆柱．（出示第二块小黑板——图2） 师：为了用祖暅原理，我们选这些柱体底面积为S，高为h，于是这两类几何体都可以夹在两个平行平面间，满足祖暅原理第一条，然后用平行于这两个平行平面的平面去截这些几何体，分别得到截面，这时锥体的截面积与柱体的截面积相等吗？生：不相等．师：为什么？生：柱体的截面与柱体底面全等，所以柱体的截面积为S，而锥体的截面与柱体的底面相似，所以锥体截面积不等于S．师：说得很好，这说明没有满足祖暅原理的第二个条件，因此利用祖暅原理也不可能了，怎么办？（学生感到困惑，教师引导鼓励学生思考）师：我们不妨调整一下思路，刚才只说了这些锥体的截面积不等于S，这些截面之间又有什么关系？生：这些锥体截面积相等．师：能证明吗？（学生口述，教师板书） 又因为这些锥体的底面积，高、顶点到截面距离分别相等．所以这些锥体的截面积相等．师：由我们得到的这些锥体的条件，可以得出什么结论？生：这些锥体体积相等．师：根据什么得出这个结论？生：根据祖暅原理．师：谁能概括一下我们得到这个命题．生：夹在两个平行平面间，底面积相等的锥体体积相等．师：很好，但可以再简练些．能夹在两个平行平面间说明这些几何体高相等，最后概括为（板书）定理1 等底面积等高的两个锥体体积相等．师：虽然祖暅原理不能帮我们直接得到锥体体积公式，但它帮我们得到了一个很好的定理．根据这个定理，我们的研究对象还用这么多吗？生：不用．研究锥体中的一个就可以了．师：研究哪一个比较好呢？（学生议论纷纷，说法不一）生：有的同学说三棱锥，有的同学说圆锥．我们选择的标准应该是简单、方便研究的几何体，圆锥涉及曲面问题，研究比较复杂，所以选棱锥中最简单的三棱锥做研究对象．（取下小黑板，微机显示一个三棱锥图形——图3）师：现在锥体体积公式的推导归结为三棱锥体积公式的推导．研究三棱锥体积，还得与柱体体积有联系，选三棱柱．（微机显示—图4） （完成第一次转化，使研究系统简化）师：对于底面积S，高为h的三棱柱ABC－A＇B＇C＇，三棱锥P－ABC，它们的体积会有什么关系？（学生考虑，教师引导）二个几何体的体积哪一个大？（学生活跃起来，抢着说出答案）生：三棱柱体积大．师：能从数学角度论证一下吗？（学生沉默片刻，部分同学举手）生：在三棱柱中，连结A＇B，A＇C．（微机显示—图5） 三棱锥A＇－ABC，底面△ABC，面积为S，高为h，根据定理1，它的体积与三棱锥P－ABC体积相等，说明三棱锥P－ABC体积是三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积一部分，所以三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积比三棱锥P－ABC体积大．师：论证得很好，那么三棱柱体积比三棱锥体积大多少呢？（学生很感兴趣，议论纷纷，互相争论）生：三棱柱体积大约是三棱锥体积3倍左右．师：能说说理由吗？（学生思考片刻回答）生：在三棱柱中，连结B＇C，三棱锥C－A＇B＇C＇底面△A＇B＇C面积为S，高为h，它的体积与三棱锥A＇－ABC体积相等．师：这说明三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P－ABC体积2倍．这时三棱柱被分割成了三部分，其中三棱锥A＇－ABC与三棱锥C－A＇B＇C＇体积相等．（微机显示—图6，△ABC，△A＇B＇C＇红色画面闪动，点A＇，C＇白色亮点闪动）现在关键是三棱柱被分割为三部后中间部分图形体积，这是个什么图形？（教师指示图6（2）） 生：也是三棱锥．师：这个三棱锥以哪个点为顶点，哪个面为底面？生：A＇为