两相混溶驱动问题的数值方法与研究.pdf

DoctoralDissertation University Shandong 两相混溶驱动问题的数值方法和分析 王 焕 (山东大学数学与系统科学学院，济南，250100) 摘要 油藏数值模拟问题的数值方法研究是现代计算数学和工业应用数学的重要领域， 油水两相渗流驱动问题是其重要的基础领域之一，著名数学家、油藏数值模拟创始人 M．F．Wheeler，袁益让等人对两相渗流驱动问题做出了一系列基础性研究工作，提出 了著名的特征有限差分方法和特征有限元、特征混合元等方法。并做了理论分析和数 值实验，为油藏数值模拟这一领域的研究和应用奠定了坚实的理论和实验基础【3-12]． 进入9ff年代以后，这些数值方法和理论进一步得到长足的发展，产生了诸如王玢迎风 差分方法【55】、调整对流特征线修正方法(MMOCAA)和局部守恒欧拉-拉格朗日方法 有限差分方法【25，26，28】、分数步长特征差分方法【40，52，54】、和分数步长迎风差分方 法等方法【29，56】，为大范围、超大规模、超长时间的数值计算提供了方法和依据，使更 加真实地数值模拟地下油藏的化学、物理及流体流动过程成为可能．这些新的方法和 问题【30，31】、核废料污染问题[32．34]、半导体器件瞬态问题【35一删、海水入侵预测和 防治问题【4l一44]、和浅水波方程等问题的数值模拟当中[45-47]，产生了巨大的经济效 益． 本文报告作者在袁益让教授的精心指导下，就两相混溶驱动问题所作的部分研究 工作．本文针对可压缩和不可压缩两类数学模型问题，提出了三类方法六种计算格式， 得到严谨的理论分析，并作了数值实验来验证计算格式的有效性，深入推进了前人的工 作，不具有重复性；特别是针对迎风混合元格式、二阶迎分有限差分格式、MMOCAA- 丰富了对该问题计算方法的研究和应用．全文共分三章，每章各包括两种格式的构造 和分析． 在第一、二章，针对可压缩两相混溶驱动模型问题，我们分别提出迎风类格式和 Potempa类格式，其中迎风类格式包括迎风混合元格式和修正的二阶迎风差分格式， 格式和MMOCAA．混合元格式．针对每一种计算格式。我们给出严谨的理论分析． Doctoral UniversityDissertation Shandong 二维可压缩两相驱动问题的“微小压缩”数学模型、数值方法和理论分析，开创了 上述模型问题，该模型问题是一组耦合非线性偏微分方程初边值问题，其中压力方程 是一个抛物型方程。饱和度方程是一个对流占优扩散方程，对此问题的研究已经得到 方法和抛物混合有限元方法的半离散格式得出最优阶工2模误差估计和基本上为最优 阶的工m模估计．袁益让在文献【49】中，针对采用特征线修正技术的抛物Galerkin有 限元和混合元方法的全离散格式，得到最优阶日1模估计；在文献【52，54，55，56】中，分 别针对采用分数步长特征差分方法、修正二阶迎风差分方法和分数步长迎风差分方法 的全离散格式，得到最优阶离散12误差估计．文献[52，54，55，56】只考虑了分子扩散情 形，对于含弥散项的情形，传统的收敛性分析框架不再适用，程爱杰在文献[58】中通 过构造新的压力误差方程而获得有限元全离散解的最优日1模估计．由于对流占优使 饱和度方程具有很强的双曲特性，使得单纯使用标准方法(有限差分或Galerkin方法) 产生过多数值弥散和非物理振荡，特征线修正方法和标准方法相结合，不仅减少截断 误差，减小和避免数值弥散和非物理振荡，而且允许使用较大时I司步长，提高了计算 效率【31T在周期性假定条件下，J．Douglas，Jr，提出特征差分方法，并给出误差估计 【4】袁益让去掉周期性假定条件，给出新的特征差分格式，得到最优阶12误差估计结 果f59，60]．由于特征线方法需要对时间空间作插值计算，尤其在计算边界时需作特别 处理，以确定是否需要改变时间步长，因此实际的算法比较复杂【59，60】．为克服数值 似的方法曾被J．Douglas，Jf用来计算不可压缩两相渗