新活跃在高考数学中的新型函数.doc

活跃在高考数学中的新型函数 函数是中学数学的主轴内容，也是历年高考“经久不衰”的点.各级各类考试命题者为了命好函数题而绞尽脑汁，挖空心思，所编制的函数题超凡脱俗，新颖别致，颇具思考性和挑战性.其中以特殊函数为背景的函数题更是频频“闪亮登场”，常处于题的地位，充当把关题的“角色”.下面将活跃在高考中的特殊函数分类列举，并予以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.凹凸函数为定义在区间上的函数，若对区间上任意两点、，恒有： （1），则称为上的凹函数； （2），则称为上的凸函数。 2.正规定义：（北京高考题曾出过） 设为定义在区间上的函数，若对区间上的任意两点和任意实数总有，则称为上的凸函数．反之，如果总有则称为的凹函数 3. 凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图1（凹函数） 图2（凸函数） 如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方; 凸与之间的部分位于弦的上方。 简记为：形状凹下凸上是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小； 简记为：斜率凹增凸增量 图5（凹函数） 图6（凸函数） 图7（凹函数） 图8（凸函数） 设函数为凹函数，函数为凸函数，其函数图象如图5、6所示，由图可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数的相应增量，…越来越大；函数的相应增量，…越来越小；　由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量增量越来越增量越来越凸 ①若在区间上有，则在区间上是凸函数 ②若在区间上有，则在区间上是凹函数 5.应用 弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图中的（）． 解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ． 例向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（图中的）（）．（98全国高考题）解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．例在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； 前5分钟温度增加的速度越来越慢； 5分钟以后温度保持匀速增加； 5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（）． Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ． 注：本题选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”． 例，表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数的图象是（ ） 图14 解：易得弓形的面积为=ｘ-ｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的的变化，在ｘ［0，π］上其增量越来越大，在ｘ［π，2π］上，其增量则越来越小，故关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为则它们的大小关系正确的是图15 A．h2h1＞h4 B．1＞h2＞h3 C．h3h2＞h4 D．h2h4＞h1 解： 设内空高度 剩余酒的高度酒杯从左到右依次为从Ｏ→Δh增加一个单位增量 （ｉ＝1，2，3，…）从Ｏ→Δh