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数学发展简史 数学分支及数学家20世纪的数学 2008-03-1909:30:38| 分类： 数学 | 标签： |字号大中小 订阅 20世纪数学是从 19世纪数学多样性时期趋于统一的时期，其统一的基础是集合论。一方面在 集合论之上产生出结构数学的庞大领域，另一方面由集合论的基础问题产生了元数学。数学新 对象的形成，导致结构的多样性和理论的多样性，而且19世纪末以前的数学——数论、代数学、 分析学、几何学与应用数学仍有新的发展，加上新的应用数学、计算数学等领域，数学日趋专 门化、多样化。但意想不到的是，从20世纪70年代起，各个领域之间新的关系不断发展，新 一轮的统一性正在形成之中。 当代数学前沿的大多数学科是20世纪上半叶形成的，其中主要是抽象代数学 （包括群论、环及 代数理论、域论、格论、整体李群理论、代数群论、同调代数以及各种衍生结构理论）、一般拓 扑学、点集拓扑学、测度和积分理论、泛函分析（包括线性拓扑空间理论、算子代数理论等）、 组合拓扑学及代数拓扑学、整体微分几何学、多复变函数论、动力系统理论、随机过程理论等。 对于 19世纪开创的新领域——代数数论、代数几何学、黎曼几何学和局部李群理论，也在结构 数学的框架中获得重大突破，成为当代数学的前沿。20世纪早期形成的一些领域，如微分拓扑 学、大范围分析、K理论、非交换几何等，也可在其中看到萌芽。 除了纯粹数学领域的扩大与深化之外，20世纪的应用数学和计算数学的面貌也发生了根本性的 改变。 一方面数学应用的范围已从20世纪之前经典力学、天文学与测地学以及数学物理等领域扩展到 几乎所有自然科学、工程技术、社会科学、人文科学的分支，而且在其中越来越起着举足轻重 的作用；另一方面，一批新的应用数学领域产生出来，成为具有相对独立的分支，构成大数学 科学的组成部分。它们一方面与实际问题有着密切的关系，另一方面它们也形成独立的数学研 究方向。其中最典型的是19世纪末20世纪初形成的数理统计学，它们同应用概率一起在近半 个世纪已经成为与经典应用数学平起平坐的学科领域。另外一个数学领域——组合数学几乎与 数学的历史一样悠久，但只有近半个多世纪才逐步成熟并独立地发展起来。 第二次世界大战之后，一些新的应用数学领域独立出来，特别是运筹学诸分支，后来纳人管理 科学的学科群中，与工程技术密切相关的系统科学、控制理论与自动化科学、信息科学也得到 空前的发展。 20世纪科学技术史中头等重要的事件是电子计算机的诞生，它对整个社会的冲击是怎么估计也 不过分的。从计算机的设计制造到大规模应用，处处离不开数学，同时也开辟了新的数学领域， 它们可以被归纳成两大部分：一是计算机科学，它指导未来计算机的发展；一是计算数学，它 指向计算机在科学计算和工程技术中的大规模计算。计算机的不断普及和改进对数学也造成不 可忽视的影响。它给数学家提出一系列算法问题，并形成一套有效的算法，如单纯形方法及其 种种改进，有限元方法及其衍生算法等，对算法的分析，如收敛速度、误差传播及稳定性等问 题形成数值分析分支。 近年来，计算机由数值运算过渡到符号运算，形成计算机代数重要分支，特别是中国数学家吴 文俊的机械化数学纲领在机器证明方面是一大突破。 19世纪末到20世纪初，数学也像物理学一样，迎来了一个激烈的变革时期。一方面人们开始 接受G．康托尔的集合论作为统一数学的基础，但不久又在其中发现有悖论，从而出现了严重 的数学危机。另一方面，作为未来数学的主要方法——公理化方法由希尔伯特所奠定，他在1899 年发表的 《几何基础》对于20世纪的数学给予很大的启示。在他的推动下，形成了一个小小的 公理化热潮。正是在这个基础上形成了结构数学和元数学两大新领域。20世纪初，数学越来越 趋于抽象化。抽象群论的研究、法国数学家勒贝格的测度论和积分论、希尔伯特的积分方程理 论、法国数学家弗雷歇的抽象空间理论、代数学的一些公理化理论等相继出现，连同19世纪末 组合拓扑学的建立，预示着以代数学和拓扑学为中心的现代数学翻天覆地的变化。泛函分析的 出现大大改变了分析的面貌，而且给量子物理学准备了现成的工具。与以前的数学比较，20世 纪数学有如下特点： 1、数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立的部分，而是随着集合论的出现涌现出 大量的新学科、新分支、新理论。例如数学基础与数理逻辑（以及由此分化出来的模型论、递 归论、证明论）、抽象代数学（包括群论、环论、域论、同调代数学、代数K理论、格论以及 各式各样的代数结构）、一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、拓扑群理论 （及其他拓扑代数， 包括李群）、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论，等等。几乎所有