数学竞赛讲座,极限与连续.ppt

函数与极限 所以，原极限为 19. 计算 解 原式 20. 计算 解 原式 令 则 21. 计算 解 原式 令 则 22. 求 解 原式 23. 求 解 原式 24. 求极限 解 因 而 原式 25. 求 解 所以原极限不存在. 26. 设 有一阶连续导数，且 解 求 令 则 所以原极限为 e. 求 27. 若 解1 求 28. 若 解2 可得 由 的某个邻域内有连续导数， 求 及 29. 已知函数 在 且 解1 在 的某个邻域内, 及 的一阶泰勒展开式为 即得 的某个邻域内有连续导数， 求 及 30. 已知函数 在 且 解2 由 可得 31. 设 具有二阶导数，且 解 求 及 由 f 连续知 且 又因 * 数学竞赛讲座 极限与连续 重要结果 几个极限不存在的例子 因 定理1 几个极限不存在的例子 因 1. 解 即 求常数 a, b. 即 得 2. 解 3．求函数 的定义域. 解 该函数的定义域，即为使极限存在的x 的范围 (1) 当 时， 则 所以, 无定义; 所以, 该函数的定义域为 (2) 当 时， 当n 充分大时， 有界， 所以, 有定义; 无定义. (3) 当 时， 且当n 为奇数时， 4．设对任意的 x，有 则 是以 为周期的周期函数. 解 因为对任意的 x，有 即 所以 所以 是以 1 为周期的周期函数. 又由于 5． 是周期π的奇函数，当 则当 解 . 当 有 6. 设函数 在 上连续，对任意正数x， 求 证 故 与 在(0, 1)上都是单调增加的， 在(0, 1)上连续. 7. 设函数 在(0, 1)上有定义，且 求证 证 任取 由 单调增知: 即 又由 单调增知， 故 于是 令 得 8. 设 证 当n≥3时, 证明： 由题设知 单调增加，即 于是 从而 故（1）成立. 由（1）知 故 所以 求 9. 设 解 因为 所以 即 有下界. 又当 所以 即 是单调下降的. 因此 存在， 设 由 可得 10. 设 证 显然 所以 有界. 当 所以 是单调减少的; 证明 存在，并求之. 又 设 则 所以函数 单调增加. 有 设 即 则 当 有 所以 是单调增加的. 根据单调有界数列必界极限， 存在. 解得 11. 设 证 显然 所以 有界. 当 所以 是单调增加的; 证明数列 极限存在，并求此极限. 且 根据单调有界数列必界极限， 存在. 设 即 则 解得 12. 证明 证 在(0, 1)内必有唯一实根 并求 设 则 由连续函数零点定理知 在(0, 1)内有零点， 又 单增，故有唯一零点，记为 单减有界，故有极限，设为a, 再由(1)式 (1)式减(2)式： 因 所以 故 求 13. 设 解 即 因为 所以 求 14. 设数列 满足： 解 故 求 15. 设 解 常用等价无穷小: 性质: 定理2 16. 求 解 先考虑 因为 所以 故 求 17. 若 解 由题设知:当 时, 是无穷小量， 于是 性质： 即 18. 求 解 令 则 * *