数值分析21.2.ppt

第二章插 值 法 fig 思考1 设f(x)=x2，求f(x)的次数不超过1、2、3、…的插值多项式各是什么？在哪些点处会有误差？ 思考2 设f(x)=sinx，求f(x)的次数不超过1、2、3、…的插值多项式各是什么？在哪些点处会有误差？ 思考1答案：当f(x)是次数不超过n的多项式时，其≥n次的插值多项式就是f(x)本身。此时误差为0！ 思考2答案：当f(x)是非多项式时，其任何的插值多项式除插值点外均有误差！ 四、插值余项 定义 函数f(x)用n次插值多项式Ln(x)近似代替时，截断误差记为 称Rn(x)为n次插值多项式Ln(x)的余项 当 f (x)足够光滑时，有如下估计定理： 定理 设函数 f (x)在包含节点x0,x1,…,xn的区间[a,b]上连续，在(a, b)上具有n+1阶导数，Ln(x)为满足插值条件的n次插值多项式，则对任一点x∈[a, b]，总存在相应的点ξ∈(a, b)，使 其中 注意 (1)根据此定理可计算插值多项式的余项(误差)。 (2)定理中的下标意义不同Ln(x)和ωn+1(x)的下标表示次数，而Rn(x)的下标则不表示次数。 (3) 复习罗尔定理 证明 由给定条件知Rn(x)在插值基点xi (i=1,2,…,n)上为零， 其中K(x)是与x有关的待定函数。 现把x看成[a,b]上一个固定点，作函数 则 根据插值条件及余项定义，可知φ(t)在x0,x1,…,xn及x处均为0，故φ(t)在[a,b]上有n+2个零点，根据罗尔定理 在φ(t)的两个零点间至少有一个零 点，故 在[a,b]内至少有n+1个零点。依次类推， 在(a, b)内至少有一个零点，记为ξ，使 fig 于是 其中ξ∈(a, b)且依赖于x。 将 K(x) 代入余项表达式即可得到结论。 来看ωn+1(x)对Rn(x)的影响 | ωn+1(x) |是|Rn(x)|的一个因子，因而越小越好。当插值多项式的次数n确定，从而插值基点的个数n+1也确定之后，对于给定的x， | ωn+1(x) | 对余项表达式的分析： 的大小就取决于插值基点的选取。为了使得 | ωn+1(x) | 尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。 定义： 设插值基点x0,x1,…,xn中最小者为a、最大者为b，当插值点x∈(a, b)时我们称为内插，否则称为外插 例1 给定数据表 x 2 3 4 5 6 7 f(x) 10 15 18 22 20 16 要用插值方法计算f(4.8)的近似值。问线性插值、二次插值和三次插值应选哪些基点？ 解 如果用线性插值，就选 为基点。如果用二次插值，就选 为基点。如果用三次插值，就选 为基点。 例2 给定函数y=lnx在两点的值如表 2.303 2.398 y 10 11 x 试用线性插值求ln10.5的近似值，并估计截断误差。 解 记f(x)=lnx，取x0=10，x1=11，x=10.5，有 因为 故 插值余项为 所以 例3 设 求证 证：以 为节点进行线性插值，得 因 ，故 根据插值余项定理，有 故 例4 已知函数y = lnx 的函数表如下： x 10 11 12 y 2.3062 2.3979 2.4849 x 13 14 y 2.5649 2.6391 分别用拉格朗日线性插值和二次插值求ln11.5的近似值，并估计余项。 解 线性插值。取两个基点 插值基函数为 故线性拉格朗日插值函数为 将x=11.5代入得 其插值余项为 因为 而 在11与12之间，故 于是 数 值 分 析 §1 引 言 一、实际背景 二、问题的分类 三、插值问题的定义 一、实际背景 基本过程： 飞机、汽车的外形设计制造 测点 插值曲线 插值曲面 三角函数表、对数表等 不在表上的函数值如何求？ 插值问题： 求一条曲线严格通过数据点 曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近数据点 注：插值问题和曲线拟合问题统称函数逼近问题！ 二、问题的分类 三、插值问题的定义 1. 插值问题的有关概念 设给出关于函数y= f (x)的一组函数值， 已知条件 y0 y1 y2 … yn y x0