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第三章 数值积分与数值微分 3.2 复化求积公式 3.2.2复化simpson求积公式 3.2.1 复化梯形求积公式 　　对于定积分 其精确值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）计算有 用Simpson公式（3.1.7）计算 　可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。 因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积方法。本节讨论复化梯形公式和复化Simpson公式。 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 一、复化梯形公式: 在每个 上用梯形公式： =Tn 3.2 复化求积公式 称 Tn为复化梯形公式 设 由梯形公式的误差有 因为 所以存在 使得 （3.2.2） 于是,复化梯形公式的余项为 事实上，由定积分的定义可知，对[a，b]的任意分划　 　所作黎曼和的极限 存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯形公式有 定义3.2 如果一种公式 有 　　　　则称求积公式 是P阶收敛的。 显然，复化梯形公式是2 阶收敛的。 可以看出，误差（3.2.2）是 阶的。而且，当 时， ，即复化梯形公式收敛到 值得 指出的是，收敛的结论，只要f（x）在[a，b]上可积即可成立。 用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子区间 　 对分，得到2n个子区间，再用复化梯形公式计算。此时，计算 的分点也是计算 的分点。 （3.2.3） 因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有 其中 。这样，计算 时，只须把新分点上的函数值算 出加到 中即可。 3.2.2 复化simpson求积公式 　　将积分区间[a,b]为n等份，h=(b-a)/h, 　　　　　　　　 在每个子区间 　　　　　上用 Simpson公式可得 4 4 4 4 4 = Sn （3.2.4） 称Sn为复化Simpson公式 。 设 ，由Simpson公式的误差有 （3.2.5） 类似于复化梯形公式的推导，复化Simpson公式的余项为 由此可见，复化Simpson公式是4阶收敛的 。 例 3.3 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算 时，要使用误差不超过 ，问各取多少个节点？ 解：由（3.2.2），令 由此解得 由（3.2.5），令 由此解得 。因此，复化梯形公式取361个节点，复化Simpson公式取19（即9×2+1）个节点。可见，复化Simpson公式明显由于复化梯形公式。