数值课程设计.docVIP

基于MATLAB数值实验的设计与实现 摘要 本文主要研究数值计算方法及其相关理论，内容主要包括非线性方程（组）的数值解法，线性方程组的数值解法，插值法，函数逼近，数值积分与数值微分，常微分方程数值解法等数值计算，解决这些数值问题我们主要通过迭代法，离散化技术，离散问题解析化技术，优化技术等来完成。通过学习不同的迭代方法，了解了迭代法的基本思想及其迭代函数的一般构造方法。离散化技术关键在于如何剖分（离散化）曲线（曲面）所在的区域为若干个小区域，用小区域的计算值来代替原数值解，常微分方程初值问题的Euler方法就属于离散化技术，优化技术就是建立优化模型，提供优化模型的有效方法，线性或非线性方程组的求解，最佳逼近函数的求法均可归结为一类特殊的优化问题。 关键词 数值计算；迭代法；优化模型；线性方程组. 1 非线性方程与方程组数值求解的设计与实现 实验目的和任务：理解非线性方程与方程组数值求解思想，设计并掌握MATLAB中非线性方程及方程组的数值解法，理解迭代法的收敛性与收敛速度. 要求精度为，给定方程与方程组分别为： ； （1-1） ，. （1-2） 1.1 线性迭代和斯蒂芬森加速迭代 对于方程（1-1），分别用线性迭代和斯蒂芬森加速迭代法计算如下： （1）线性迭代法 运行指令： function f=G1(x) f=x^2-3*x+2-exp(x); [xstar,index,it]=bisect(@G1,0,1,1e-6) （2）斯蒂芬森加速迭代法 运行指令： function f=G1(x) f=1/3*(x^2+2-exp(x)) [xstar,index,it]=steffensen(@G1,0,1e-6) 结果整理： 迭代方法 方程的根x 迭代次数 收敛性 线性迭代 0.2575 19 收敛 斯蒂芬森加速迭代 0.2575 3 收敛 1.2 牛顿法及数值比较 用牛顿法求方程（1-1）））＝； （2-1） =. （2-2） 2.1 LU分解法和列主元消去法 用分解（即高斯消去法）和列主元高斯消去法分解上述两个方程组.输出中矩阵及向量，分解的与，及解向量.结果如下： （1）方程（2-1）的求解 分解法： 运行指令： A=[3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34];b=[1,1,1]; [L,U,P]=lu(A) ,y=L\(P*b);x=U\y 结果整理： 列主元高斯消去法: 运行指令： [x,det,index]=Gauss_col(A,b) 结果整理： 系数矩阵A的行列式det（A）=-0.0305 方程（2-2）的求解 分解法： 运行指令： A=[10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];b=[8,5.900001,5,1]; [L,U,P]=lu(A) ,y=L\(P*b);x=U\y 结果整理： 列主元高斯消去法: 运行指令： [x,det,index]=Gauss_col(A,b) 结果整理： 系数矩阵A的行列式det（A）=-762.0001 2.2 系数有扰动的方程（2-1）列主元消去法 将方程组（2-1）及，并与（1）中结果比较. 运行指令： A=[3.00,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.990,-4.81,9.34];b=[1,1,1]; [x,det,index]=Gauss_col(A,b) 结果整理： ,系数矩阵A的行列式det（A）=-0.4070 结果分析：与（1）中结果比较得，求得方程的解x的值有很大的差别，说明对于该数据系数矩阵很小的波动都能产生很大的误差，数值不稳定。 2.3 系数有扰动的方程（2-2）列主元消去法 将方程组（2-2）及，并与（1）中结果比较. 运行指令： A=[10,-7,0,1;-3,2.1,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2];b=[8,5.9,5,1]; [x,det,index]=Gauss_col(A,b) 结果整理：，系数矩阵A的行列式det（A）=-762 结果分析：与（1）中结果比较可知，求得方程的解x的值基本没有差别，说明对于该数据系数矩阵很小的波动产生的误差也很小，数值稳定。 2.4 MATLAB数值计算 （1）方程（2-1）的Matlab数值解法 运行指令： A=[3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34];b=[1,1,1