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函数思想方法与小学数学教学 冯国平 一、函数的概念 1 函数概念的来源与发展 贝努利（瑞士，1718年 ） 由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量． 欧拉（瑞士，1755年 ） 如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，把前面的变量称为后面变量的函数． 柯西(法国， 1821年) 在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随之而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数 罗巴契夫斯基 （俄国 ，1834年） x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化． 狄里克雷(德国，1837年) 如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数． 等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后, 维布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）. 1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数.其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为,若对集合Ｍ的任意元素ｘ,总有集合Ｎ确定的元素ｙ与之对应,则称在集合Ｍ上定义一个函数,记为ｙ=ｆ(ｘ).元素ｘ称为自变元,元素ｙ称为因变元 2、各阶段教学中对函数定义 初中定义(变量说 )：在一个变化过程中如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y为x的函数。 高中定义(对应说 )：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合：｛f（x）｜x∈A｝叫作函数的值域。 大学定义(关系说 )：设D，R为非空集合，则映射f：D→R称为D上的一个函数，记作 y＝f（x），x∈D。 二、小学数学中的数学思想方法 1、数学思想方法概述 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 2、小学数学中的数学思想方法 函数思想方法 对应思想方法 假设思想方法 比较思想方法 符号化思想方法 类比思想方法 转化思想方法 分类思想方法 集合思想方法 数形结合思想方法 统计思想方法 极限思想方法 代换思想方法 可逆思想方法 化归思维方法 数学模型思想方法 整体思想方法 三、小学数学中的函数思想方法的渗透 1、在 “数与运算” 中渗透函数思想加法乘法除法正比例关系反比例关系 算一算，填一填 2、“空间与图形” 中渗透函数思想 长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，长方体、正方体、圆柱体的体积公式以及圆的周长、面积公式等都广泛地渗透着函数的思想。 用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。 3、解决实际问题中渗透函数思想 学校有120名学生排队做操， ------------，可以站几排？ 4、“统计与概率” 中渗透函数思想 下面是一位老师设计的“测量一个水龙头不同时间内滴水量”的活动。 环节一：边测量边填表。 ? 环节二：根据实验数据再制成折线统计图。 环节三：结果分析：（1）说一说从图中你发现了什么；（2）描述一下滴水量与时间之间的关系；（3）估计3小时将浪费多少毫升水。 四、渗透数学思想方法应遵循的原则 过程性原则 在教学中渗透数学思想方法时，不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识的引导学生潜移默化地领会蕴含其中的数学思想和方法。 反复性原则 数学方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低