分类讨论解题策略.pdfVIP

第 3O卷第 6期 大 学 数 学 Vol_3O。№ ．6 2014年 12月 COLLEGE M ATHEM AT1CS Dec．2014 分类讨论解题策略 郭培俊 ， 郭晓曼 (1．浙江工贸职业技术学 院，浙江 温州 325003； 2．中南民族大学 经济学院，湖北 武汉 430074) [摘 要]分类讨论是一种数学思想，也是一种解题策略．高等数学 中的有关函数、极限、微分、积分、级数 等内容的题 目，当涉及对象 比较复杂或范围广时，解题时要进行分类讨论．函数 的零点、驻点、极值点、拐点等 往往作为分类讨论的分界点． [关键词]高等数学；分类讨论 ；解题策略；数学思想 [中图分类号]013 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)06—0105—06 1 分类讨论概述 分类与讨论是一种重要的数学思想，也是一种数学能力_1]．当面临的问题不宜用一种方法处理或同 一 种形式叙述时 ，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类 ，然后逐类进行讨论 ，再把这几类 的结论 汇总，得 出问题的答案 ，这种解决问题的思想方法就是分类讨论 的思想方法． 当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进 行解决，即对 问题 中的各种情况进行分类 ，或对所涉及的范围进行分割 ，然后分别研究和求解．分类讨论 解题的实质 ，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件_2]． 分类讨论的思想方法的实质是把问题 “分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：(1)确定 同一分 类标准；(2)恰当地对全体对象进行分类 ，按照标准对分类做到 “既不重复又不遗漏”；(3)逐类讨论 ，按一 定 的层次讨论 ，逐级进行 ；(4)综合概括小结 ，归纳得 出结论_l3]． 分类讨论 ，一方面可将复杂的问题分解成若干个简单 的问题 ，另一方面恰 当的分类可避免丢值漏 解 ，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养． ． 近年来，在各地专升本试题中涉及 “分类讨论”的问题越来越显现，因为这类试题不仅考查学生的数 学基本知识与方法 ，而且考查 了学生思维的深刻性．在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多 ， 究其原因主要是平时的学习中，由于高职生学 习数学时间少和高职学习数学的要求 “扁平化 (必须 、够用 原则)”，导致对 “分类讨论”的数学思想渗透不够 ，个人水平偏低．这需要参加专升本 的学生补上一课 ，花 点时间加强 “分类讨论”的学习． 应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学 ，标准统一 ，做到不重复 ，不遗漏 ，并力求最简、完备． 2 分类讨论常见知识点 分类讨论是解题的需要 ，是同一本质的几种表现形式，是准确反映事物本质的要求．在专升本 《高等 数学》中，分类讨论常见的知识点有 ： 指数函数 y—a ，其中底数 n是参数 ，要分为 0 a 1，a 1两情况进行讨论 ； 对数函数 y— log ，底数 n是参数 ，要分为 0n 1，n 1两情况进行讨论 ； [收稿 日期]2014—03—15 106 大 学 数 学 第 30卷 分段函数在分界点处的极限、导数要分左右极限、导数讨论 ； z— C×3的极限往往要分为 z一+。。，z一一。。两情况讨论 ； z— z。的极限往往要分为z— x+o，z— z 两情况讨论 ； 幂函数求不定积分ldx要把参数a分为a一一1，a≠一1两情况讨论； 等比级数Eq收敛性要把参数q分为q1，q≥1三情况讨论； p-级数∑ 收敛性要把参数P分为P≤1，P1三情况讨论； n= 1 ¨ 用 比值法判断正项级数 n是否收敛时，要把 lim—ctwF1一P分为lD1，P 1，P一 1三情况讨论． n—■00 “ ”