数学建模 湖水污染问题.docx

湖水污染问题 1121943 刘 烁 1121940 庄 静 1121946 刘 蔚 [摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。 [关键字] 湖水污染 微分方程模型 一.问题提出 下图是一个容量为2000m3 的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(=0.05%)。 二.模型假设 湖水流量为常量，湖水体积为常量； 流入流出湖水水污染浓度为常量 三.符合说明 F：污染物浓度 Z：倒入湖中的污染物总量 D：处于某浓度的时间 四.问题分析 分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0t60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*0.12F（m3*min-1）。因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。 五.模型的建立和求解 湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量 2000*(dF/dt)=Z/60-7.2F F(0)=0； 2000F’=Z/60-7.2F 2000F’+7.2F=Z/60 F’+7.2F/2000=Z/120000 所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000; y=e-∫7.22000dt [(Z/120000)e7.22000dt+C] =e-7.22000t[（Z/120000）（2000/7.2）*e7.22000t+C] =Z/432+C*e-7.22000t 又因为：F(0)=0 所以：C=-Z/432 所以：y=Z/432[1- e-7.22000t] 求得以特解为： F（t）= Z/432[1- e-7.22000t] 在0t60之间求t为多少时，F（t）最大。 显然是t=60时，污染达到高峰。此时污染浓度为： F（60）=Z/432（1-e-7.2*60/2000） = 4.497*10-4Z 然后污染物被截断，故方程为： 2000*dF/dt=-7.2F, F(t)=F（60）e-7.2（t-60）/2000； 当它达到安全水平时，即F（t）=0.05%，可求出t=D。 F（60）e-7.2（t-60）/2000=0.05% .即e-7.2（t-60）/2000=1.1119/Z -7.2(t-60)/2000=ln(1.1119/Z) t=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60 所以：D=-(2000/7.2)ln(1.1119/Z)+60 Z取不同值时的浓度F（60）和时间D： Z/m3F（60）/m3D/min50.0022485477.670.0031479571.190.0040473640.9110.0049467696.6130.0058461743.0150.0067455782.8170.0076499817.5 190.0085443848.4200.008994862.7 六.模型误差分析 本文中由微分方程法建立数学模型，可以说思路较为清晰，逻辑性强。但由于在模型的假设过程中，我们认为水流速度不变，且污染物进入