数学建模试卷.docVIP

1、从一个酵母培养物增长的实验中采集到的数据如下表和下图所示（增长率是根据数值微分三点公式计算所得）： 时间(小时) 0 1 2 3 4 5 6 酵母生物量(克) 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 增长率(%) 80.2 53.0 49.8 44.6 50. 6 43. 5 39. 6 时间(小时) 7 8 9 10 11 12 13 酵母生物量(克) 257.3 350.7 441.0 513.3 559.7 594.8 629.4 增长率(%) 34.2 26.2 18.4 11.6 7.3 5.9 3.7 时间(小时) 14 15 16 17 18 酵母生物量(克) 640.8 651.1 655.9 659.6 661.8 增长率(%) 1.7 1.2 0.6 0.4 0.2 (1)根据以上图表，文字描述酵母生物量的变化过程，并初步分析其原因； (2)请引入合理的简化假设，建立数学建模，描述酵母生物量的变化过程； (3)你建立的模型包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？如何估计模型中的参数？ 2、司机培训课程有这样的“2秒规则”——即在正常驾驶条件下，后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒钟之后到达同一标志，而不管车速如何。下表是由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据，车速的单位是英里/小时，距离的单位是英尺，时间的单位是秒。（单位换算：1英里＝5280英尺） 反应距离和制动距离的实际观测值 车速 （英里/小时） 刹车距离（英尺） 车速 （英里/小时） 刹车距离（英尺） 范围 平均值 范围 平均值 20 40—44 42 60 228—268 248 30 69—78 73.5 70 314—372 343 40 108—124 116 80 422—506 464 50 160—186 173 请建立数学模型，根据以上数据，经过简单的计算，回答以下问题： （1） “2秒规则”足够安全吗？ （2）有没有更合理的规则？ 3、建立数学模型，给出计数器读数n与录像带转过时间t的关系，这样计数器就可以起到记录时间的作用。录像机计数器工作原理如下图。录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满左轮盘，右轮盘的轴与计数器相连，右轮转的圈数与计数器读数成正比，开始时右轮盘是空的，计数器读数为0000。录像带从左往右运动，与小马达相连的主动轮的转数是固定不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，录像带的运动速度（线速度）为常数，使得录像机播放出稳定的图像。随着录像带从左向右运动，右轮盘半径增加，转速越来越慢，计数器读数的增长就越来越慢。 （1）为了建模，需要引入哪些变量和参数？ （2）根据以上分析写出模型假设。 （3）建立数学模型(提示：通过计算缠绕在右轮盘上的录像带m圈的长度来建模)。 （4）模型中可能有很多个参数，并且难以一一直接测量，事实上也没必要那样做。如何辨识模型中的参数？ 4、汽车配件厂为装配流水线轮换生产若干种部件。每轮换生产一种部件，都因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）。同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付贮存费。今已知装配线对某一部件的日需求量100件，该产品的生产准备费为5000元，贮存费每日每件1元。如果配件厂的生产能力远大于需求， 并且不允许出现缺货。 （1）请制定该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使每天的平均费用最小。 （2）若生产准备费增加1%，问生产周期变化有多大？ 5、1790至2000年美国每隔十年的人口统计数据如下表和下图所示（年增长率是根据数值微分三点公式计算所得）： 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口(百万) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年增长率(%) 2.95 3.11 2.99 2.97 2.91 3.01 3.08 2.45 年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口(百万) 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年增长率(%) 2.44 2.42 2.05 1.91 1.66 1.46 1.02 1.04 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口(百万) 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 年增长率(%) 1.58 1.49 1.16 1.054 1.09 1.16 (1)根据以上图表，文字描述美国人口的变化过程，并初步分析其原因； (2)请引入合理的简化假设