数学思维中的观念系统.docVIP

数学思维中的观念系统 张乃达 （一） 为了使数学知识与数学能力特别是数学思维能力同步发展，必须深入研究：在数学思维活动中，数学思维能力发展的机制。具体地讲，要研究如下两方面的问题： 第一，数学思维能力如何起作用于数学思维活动以达到迅速获取数学知识的目的？ 第二，在获取具体的数学知识的过程中怎样才能形成和发展数学思维能力？ 下面．，我们将从分析学生的具体数学思维过程开始，来寻求上述问题的答案。 （二） 研究表明，数学思维能力是通过数学观念为中介来指导数学思维活动的。这表现为 两个方面： 第一，数学思维能力通过观念作为桥梁来作用于数学思维过程。 在△ABC中，分别用、、表示、、的对边，求证： (1) 下面是一位成绩优秀的学生通过“出声想”表现的思维过程：，因此(1)等价于，即要证。(2)考虑到在问题中的对称性，可先考虑二元的情况，即证明。可用比较法，作差。(3) 为了证(3)非负，只须证与同号。这是很容易的。剩下的只是推广到三元。 师问：你为什么要考虑二元情况？ 生答：这是先退后进，找规律。 师：能不能将本题结果再推进一步呢?学生略加思索后得到：若 ，，则 学生能独立完成本题的解答并推广，是他正确地用“特殊化”、“一般化”的观念来指导数学思维过程的结果。 例2．将极坐标方程 (1)化为直角坐标方程。 思考：由坐标变换公式 (2) (1)有。如果问题中的是就好了．现在寻找它们的关系，由(3),只要从(3)中解出。这是三次方程， 学生的思路陷入困境．如果能倒过来思考，即将代入(3), 立即有 ,即。 学生思维受阻的关键在于他没有“逆向思考”的观念。由此可见，发展数学观念是 提高数学思维能力的正确途径。 第二，在数学知识的学习过程中，只有促进数学观念的发展才能形成广泛的迁移，进而转化为数学能力。 例3．与相交于两点，过各做割线，分别交于，交于，则。 学生通过作出公弦AB而得证．但学生甲并未由此形成一般观念，所以解题的收获仅表现为知识的增加。学生乙形成“相交圆问题可通过公共弦来解决”这样的认识，就可能用这个方法去处理同类问题，形成初步迁移，知识呈现出向能力转化的趋势。学生丙更深入一步，看到公弦之所以能帮助解决问题，是因为它在解题中起着桥梁作用，从而得到“中介”这样一般性的观念，形成了知识广泛汪移的基础，标志着能力的形成和增长。这说明，观念是知识迁移的泉源． 另一方面，如果说能力是知识的结晶，那么观念就起着结晶核的作用，它将会把大量有助于观念发展的素材吸引在它的周围，大大加速概括的进程，增进对材料的理解，最终转化为能力．例如，形成了“抓中介”的观念以后，在立体几何中就会认识到两平面的交线、直线与平面的交点也有“中介”性质，从而形成“面面关系抓交线、线面关系抓交点”的认识，为解题指示了方向。 苏联心理学家克鲁捷茨基扒伪．，数学能力就是用数学材料去形成概括的f简缩的、 灵活的和可逆的联想和联想系统的能力．数学观念正是这种概括的简缩的认识，它的存 主就为联想提供了基础。事实证明，数学观念在数学知识转化为能力的过程中起着纽带 与桥梁的作用，如下图： 通过上面的分析可以看到，为了进一步研究知识与能力的关系，有必要引进“数学 观念系统”这样一个概念。 （三） 所谓数学观念系统，是指由数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认识系 统。它包括人们在进行数学思维活动时的观点、原则、思想方法及确定行为的方式。例 如：变换的思想、化归的方法、方程的观点和追求简单化的心理倾向等等，都是数学观 念系统的组成部分。 数学观念系统不同于数学知识系统，又不同于数学思维结构、它可以看成是由数学 知识系统与数学思维结构中某些相关部分组成的综合体。一方面，它是由工具性和方法 性的知识组成的，因而具有知识系统的某些性质，例如可以通过传授来进行学习；另一方 面，它又反映了学习者的思想、观点及处理问题的方法，所以它也是学习者心理结构的综合体现，因而又有认知结构的某些特性，例如可以形成广泛的迁移．它既是全人类的数学思维的产物，又是个体的思维成果，蕴含着主体认识和改变外部现实的理性应变能力，起着由主观到客观又由客观到主观的适应调节作用。 数学观念系统具有层次的结构．数学观念可以由它的抽象程度、适用范围而分为若干层次，这些层次又和数学方法的层次相适应，起作用于解决问题时的不同思维层次，对问题作出不同范围的解决。（详见〔2〕） （四） 现在我们来探讨数学观念系统形成和发展的规律。 数学观念系统的形成和发展，不能离开具体的数学思维过程。它经历着聚合—发 散—聚合，也就是抽象—具体—抽象的辩证运动过程。 在数学教学中，通过教师的主导作用，可以大大缩短