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变位齿轮公法线长度计算的研究与探索 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰 摘要：将变位齿轮公法线长度计算式 （直齿）中的“”和（斜齿 ）中的“”表述为“标准齿轮的公法线长度”是不合理的。本文从正反两方面论证这样表述的不合理性，并给出合理的表述。 关键词：公法线长度，基圆弧长，标准齿轮，跨齿数。 1、不合理的表述及不合理的计算方法 有些教材和手册对变位齿轮公法线长度的计算是这样表述的：“变位齿轮的公法线长度，等于标准齿轮的公法线长度，加上变位齿轮公法线长度的附加量（直齿）或（斜齿）。”给出的计算式为： （直齿） （1） (斜齿) （1） 并且指明公式中的“”和“”为“标准齿轮的公法线长度”。某些教材和手册虽然没有这样明确表述，但公法线长度却是按这种表述计算的。笔者认为这样表述和按表述这样计算都是不合理的。因为按这种表述计算的公法线长度，其测量点（量具卡脚与齿廓的切点）有时在齿顶部，有时在齿根部；有时甚至在齿顶圆之外或齿根圆以内，使公法线长度测量不准或无法测量。下面用这种方法计算一个例题，看看是不是这样。 例题 一变位直齿轮，，（试计算公法线长度。 依据题给条件由标准齿轮公法线长度表查得，=41、m=1、的公法线长度(跨齿数k=5)，故，公法线长度的附加量。故公法线长度 。 这条公法线长度完全是按这种表述计算的，也是不少书和手册上示范例题的通行算法。那么这样计算是否合理呢？所谓公法线长度合理与否是指它的测量点是否在齿廓的合理部位：如测量点在齿高的中点部位则说明公法线长度是合理的；如测量点在齿顶部或齿根部则说明公法线长度是不合理的；如测量点在齿顶圆之外或齿根圆以内则说明这条线段已不是公法线长度了，因为它不符合公法线长度的定义。现据上述公认的论点对的这条所谓公法线长度的合理性验证如下： （1）计算的测量点所在圆直径 为基圆直径，，=5 ， ， 。 （2）计算齿顶圆直径 。 ，， ，查渐开线函数表。 。 ，。 （3）计算测量点至齿顶的距离 。 该齿轮的全齿高，而测量点至齿顶的距离为，这表明公法线的测量点在齿根圆以内，无法测量。因此按这种表述计算公法线长度就此例而言是不合理的。 另外，手册对的公法线长度“表”都是这样定义的：“为的标准齿轮的公法线长度。”这种说法同样是不合理的。今从“公法线长度表”（今天各家手册几乎都有这样的表）中随意取z=86这个齿数（见表1）进行分析，看看它为何是不合理的。 表1 公法线长度 86 10 29.2497 11 32.2020 12 35.1540 13 38.1060 在表1中，当k=10、k=11时经验证，它们对应的 是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时经验证，它们对应的就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为这两条线段的测量点都在标准齿轮的齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它俩都不是公法线长度。下面验证是不是这个标准齿轮的公法线长度。 （1）计算测量点所在圆直径 ， ， 。 （2）计算标准齿轮的齿顶圆直径 ， 。 ，这说明测量点在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，因此它不是公法线长度。K=12对应的值都不是公法线长度，那k=13对应的值就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；然而教材、手册都一概称它们都是公法线长度；显而易见，这种说法是站不住脚的。因此按这种表述计算公法线长度以及对“”的定义显然都是不合理的。 2、公法线长度必然是基圆弧长，但基圆弧长不一定是公法线长度 按这种表述计算公法线长度的不合理性早在上世纪80年代就有文章指出过，但有些读者不以为然。他们说：“书上表述是合理的。只要将公式（1）中的（斜齿）中的“k”用变位齿轮的跨齿数代入计算，不合理的公法线长度就不会出现了。”是的，这样计算是正确的。但这样又与表述有矛盾了：你有什么理由断定公式（1）中的就一定是标准齿轮的公法线长度呢？今仍以上述那个例题为例，用变位齿轮的跨齿数代入，看看它是不是标准齿轮的公法线长度。 首先计算变位齿轮的跨齿数。公式为： 。将各值代入公式，则 ，按规定应取k=7 。将k=7代入公法线长度计算式，则。现在只要计算出的测量点在标准齿轮齿廓上的部位，那么它是不是标准齿轮的公法线长度就一清二楚了。现验证如下： （1）计算的测量点所在圆直径 （前已算出）。 ， （2）计算标准齿轮的齿顶圆直径