第7章 数学公理化方法2011.pptVIP

第7章 数学公理化方法 §1 数学公理化方法的意义 一、数学公理化方法的含义 所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公设）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 其中，我们把由公理化方法最后得到的知识结构，称之为公理体系，而由不加证明的原始命题（公理或公设）形成的结构，称之为公理系统。 如:几何原本的公理系统 二、意义： 1、总结性 2、示范性(牛顿自然哲学的数学原理) 3、简洁性 4、系统性 5、可比较性 §2 数学公理化方法的产生与发展 一、公理化方法的萌芽------亚里士多德的三段论体系 大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德(公元前384—322年)总结了古代积累起来的逻辑知识，在其专事探讨演绎证明理论的巨著《分析篇》中，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，在历史上提出了第一个公理体系——三段论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。 二、实质公理化方法的产生--------欧几里得的几何公理体系 （1）由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说，这一公理系统被认为是从属于这些特定对象的），又由于这些对象具有明显的直观背景——现实空间（从而人们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依据），因此这种公理系统就被称为实质的公理系统。 对象------公理------演绎 （2）实质公理系统的特点： ?? 研究对象先于公理给出。 ?? 公理和公设对自明性有不同的要求 用构造作为存在性的证明。 三、潜形式公理化阶段------非欧几何体系 （1）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念，使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性，为形式公理系统的诞生铺平了道路。 （2）几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几何理论不再从属于某种特定的研究对象，人们开始认识到舍弃特定的实质性的对象，仅从形式上“自由地”建立几何理论的可能，这正是我们把这一阶段称之为潜形式公理化阶段的原因。 四、形式公理化阶段---希尔伯特公理体系德国数学 （希尔伯特于1899年出版的《几何基础》就是形式化公理方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象可以是任何事物，只要它们满足公理所表述的事实，那么，由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们来说就是成立的。） 特点：（1）公理-----对象------演绎 （2）形式公理排除直观默认，不再区分公理和公设，整个系统具有严格的逻辑性 （3）形式公理系统由于具有更高的抽象性，因此也就具有更高的概括性。 五、纯形式公理化阶段-----元数学的建立 所谓元数学，笼统地讲，就是指把某种数学理论（如自然数理论，几何理论等）作为一个整体来加以研究，研究系统的相容性、完备性及公理的独立性等问题。 §3 公理化方法的特点与基本问题 一、特点： 1、纯粹的演绎系统；2、有序的整体； 3、系统是形式化的 二、基本问题： 1、关键：选择基本概念与公理 2、选择公理的基本问题：相容性；独立性、完备性 三、对公理系统的检验(检验的方法:直接证法和间接证法) 1、相容性的证明 欧氏几何的相容性的证明(实数模型) 罗氏几何的相容性证明： 欧氏几何相容性 “模型”：①庞加莱模型 罗氏几何-------欧氏几何 点 -------直线a上方的点 线 -------以a上的点为圆心作圆， a以上的半圆 面 --------直线a以上的欧氏平面 ② F·克莱因模型 罗氏几何-------欧氏几何 点 -------欧氏圆的内点 线 -------圆的弦（不包括两端点） 面 -------圆的内部 2、独立性的证明 (转化为“相容性的证明”） 3、系统完备性的证明 （如果某一公理体系的所有模型都是同构的，则这个公理体系是完备的。 ） 哥德尔不完备性定理：如果形式算术系统是ω无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，即它是不完备的。 系统内构造了这样一个命题G ，G’为G的映射 ， G’=“G是不能证明的” 前提： （α）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。 　　　（β）命题的真理性在映射下保持不变（特别是这里的G和G’是同真假的）。 结论1：G是不能证明的。 证明：用反证