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四 空间直线及其方程 5.直线与直线间的位置关系 6.直线与平面的位置关系 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 例12 【解】 将两已知直线方程化为参数方程为 即有 例13 【解】 所求投影直线方程为 第八章 空间解析几何与向量代数 第八章 空间解析几何与向量代数 上页 下页 返回 结束 第八章 空间解析几何与向量代数 上页 下页 返回 结束 第八章 空间解析几何与向量代数 第八节 空间解析几何与向量代数 习题课 作业点评 内容回顾 典例分析 课堂练习 一、内容回顾 （一）向量代数 （二）空间解析几何 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积 数量积 混合积 向量的积 向量概念 （一）向量代数 向量的模 : 向量的大小 一、向量的概念 向量: 又称矢量 . 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 矢径 : 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 二、向量的线性运算 1. 向量的加法： 平行四边形法则、 三角形法则 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 一 向量及其线性运算 1. 向量的坐标表示 则 的坐标为 设点 M 平行向量对应坐标成比例: 2. 向量的模的坐标表示式 3.两点间的距离公式: 三、利用坐标作向量的线性运算 4. 方向角与方向余弦 方向角的余弦称为其方向余弦. 5.向量的投影定理 1 2 （二）数量积 、 向量积 向量的数量积 向量的向量积 （结果是一个数量） （结果是一个向量） 加减: 数乘: 点积: 叉积: 1. 向量运算 2. 向量关系: // 直 线 曲面 曲线 平 面 参数方程 旋转曲面 柱 面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程 空间直角坐标系 （二）空间解析几何 空间曲线在坐标面上的投影 空间立体或曲面在坐标面上的投影 1. 点法式方程 法向量:n A，B，C . 2. 一般式方程 3.平面的截距式方程 （三）平面及其方程 4.三点式 4.平面与平面的位置关系 夹角 :两平面的法向量的夹角。 规定 0≤φ≤ . ?1??2 n1 ?n2 ?1//?2 n1 //n2 4.点到平面的距离 平面 平面 1. 一般方程 2. 对称式方程 方向向量 s m, n, p 3. 参数方程 4. 两点式方程 过已知两点M0 x0, y0, z0 与M1 x1, y1, z1 的直线 为直线的方向向量. 为直线上一点; 夹角: 两直线的方向向量的夹角 规定 0≤φ≤ . ^ 两直线的位置关系： 直线 直线 直线L和它在平面?上的投影直线的夹角? . 直线与平面的夹角: 当L与?垂直时，规定直线L与平面?的夹角为 . 直线与平面的位置关系： 7. 相关的几个问题 1 过直线 的平面束 方程 2 点 的距离为 到平面 ? ：A x+B y+C z+D 0 ? d 到直线 的距离 为 3 点 d 五 曲面方程 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影． 空间曲线 六 曲线方程 七 二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 1 椭圆抛物面 （马鞍面） 2 双曲抛物面 3. 双曲面 1 单叶双曲面 2 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 1.下列曲面是双叶旋转双曲面的是 A. 椭球面 C. 椭圆柱面 D C B C 二、典例分析 双叶双曲面 D 例8 【解】 由题设条件得 解得 例9. ,求一平面 平行于上述三点所确定的平面 ,且和它的距离等于2 . 解： 设所求平面?的法向量为 , 不妨取： 则所求平面方程可设为： 依题意知点 到?的距离为2 ，即 解得 或 故所求平面方程为： 或 例10 求曲面 与 所围成的立体在三个坐标面上的投影 解： 联立 消去z得 在xoy平面上的投影区域为 令 得 得 所以在yoz平面上的投影区域为 同理在zox平面上的投影区域为 x y z o 例11 【解】 过已知直线的平面束方程为