高等数学第二章——导数与微分1.pptVIP

2.1 导数的概念 一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、单侧导数 四、函数的可导性与连续性的关系 三、函数的可导性与连续性的关系 小结 思考与练习 2. 设 2.2 函数的求导法则 一、四则运算法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 一、四则运算法则 三、小结 例7 解 例8 解 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 1. 函数 在某点 处的导数 有什么区别与联系 ? 与导函数 存在 , 则 3. 已知 则 4. 设 , 问 a 取何值时, 都存在 , 并求出 在 定理１ 证 3 证 1 、 2 略. * 2．1 导数的概念 2．2 函数的求导法则 2．3 高阶导数 2．4 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 2．5 导数的简单应用 2．6 函数的微分 一、导数概念的引入 求函数变化率的两个实例 实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度. 设质点的运动方程为：s s t .则 从时刻t0到t0 +?t时间段内，质点走过的路程为： Δs s t0 +?t -s t0 在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为: 当?t?0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度: 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 二、导数的定义 定义1 即 其它形式 实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度: 实例2 曲线y f x 上一点M x0 , f x0 处的切线斜率 定义2 注意: 注意 2 右导数: 单侧导数 1 左导数: 定义３ 左、右导数统称为单侧导数． 定理1 注意: 由定义求导数步骤: 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 更一般地 例如, 例6 解 注意　导数的几何意义与物理意义 1 几何意义 切线方程为 法线方程为 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度 面积,体积 的导数为物体的线 面,体 密度. 定理２ 若f x 在x0处可导，则f x 在x0处连续. 证 注意: 该定理的逆定理不成立 连续函数未必可导 例如y |x|在x 0处连续但不可导.