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建筑与数学（二）几何图形  对称 在数学上，将两种状态间通过确定的规则对应起来的关系，称为从一种状态到另一种状态的变换。 如果某一现象（或系统）在某种变换下不改变，则说该现象（或系统）具有该变换所对应的对称性。 圆对过圆心且与圆所在平面垂直的直线具有旋转变换的对称性，并对直径具有镜像反射变换的对称性。 无论怎样复杂的转动都不能把左手转成右手。 围棋盘（方格网，规则网格）具有平移变换的对称性； 图形的角度和长度比具有相似变换的对称性； 以相等的时间间隔平移的对称性，通常称为周期性； 一个静止的物体具有任意时间平移的对称性。 内特尔（Noether)定理：如果运动规律在某一变换下具有对称性，必相应存在一个守恒定律。例如：物理定律不随时间变化，能量就守恒；作用量在空间平移下保持不变，动量就守恒；作用量在空间旋转下保持不变，角动量就守恒； 拓扑几何——“橡皮几何” 一些简单的分形图形的生成 谢尔平斯基衬垫 康托尔粉尘集 边长为1的正三角形的面积是√3/4 =S0 边长为1/3的正三角形面积A是√3/36 =(1/9)S0 每分一次，边长为前一次的1/3，面积是1/9; 但增加的小三角形是4个，增加的面积是： (4/9)A，于是从初始三角形一边增加出来的面积是：[1+ 4/9 + (4/9)2 + (4/9)3 + ……]A = 9/5 A = 9/5 ×√3/36 = √3/20 三边增加的面积是3√3/20。加上初始三角形自身面积√3/4，总面积是2√3/5，是有限的。 围合有限面积的边界长度却可以是无限长的。 每操作一步，边界的长度就是前一次的4/3，一直分下去，(4/3)n 当 n→∞，边界的长度是无限长的。 科赫曲线 * 凤凰传媒中心 北京设计院 UN Studio将莫比乌斯环的概念发展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比乌斯住宅。建筑师以人在一天的活动、位移为主线，运用数字技术，将拓扑学中的莫比乌斯环作为建筑生成的概念。 左图描绘了夫妇两人如何一起生活、分开工作又如何相遇在共享空间。两个人运行自己的轨迹，有时汇合，有时甚至可能会互换角色。这个住宅混合了多种情况，将不同的行为置于一个环形结构之中，工作、家庭生活、独处都能在环形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依赖又转换位置，混凝土结构在内部成为家具而立面上的玻璃在内部成为了隔墙。 莫比乌斯住宅 UN Studio 在这幢住宅里，作为垂直交通的楼梯成为莫比乌斯环形成的核心，楼梯扭转了上下层的轴线，形成了全新的空间形式。 莫比乌斯住宅 UN Studio 莫比乌斯住宅 UN Studio ICA 假日之家 UN Studio 2006 哈萨克斯坦新国家图书馆方案竞赛中，丹麦BIG事务所的设计作品取得了第一名。“设计是将穿越空间与时间的四个世界性经典造型——圆形、环形、拱形和圆顶形——以莫比乌斯圈的形式融合在了一起。 哈萨克斯坦国家图书馆 BIG 哈萨克斯坦国家图书馆 BIG 哈萨克斯坦国家图书馆 BIG 威尼斯双年展上的莫比乌斯圈 UN Studio 杭州科技馆方案 2010世博会丹麦馆 BIG 2010世博会丹麦馆 BIG 2010世博会丹麦馆 BIG Klein Bottle 三维空间中的克莱因瓶，没有“内部”和“外部”之分。由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构是，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面， 把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，得到两个莫比乌斯带。 有人说，把克莱因瓶投影到平面上，是和中国阴阳图同构的。 复杂的克莱因瓶 克莱因瓶 Klein Bottle 克莱因瓶 Klein Bottle 克莱因瓶住宅 麦克布莱德 McBride Charles Ryan Architects 克莱因住宅 克莱因住宅 * 2010世博会 委内瑞拉馆 法昆多?巴乌多因?特兰 2010世博会 委内瑞拉馆 法昆多?