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编程实现数值积分的几种--方法 c语言 数值计算 2010-11-05 09:52:43 阅读385 评论1 ??字号：大中小?订阅 复化梯形公式 　 ????在区间 不大时 , 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的 , 但当区间 较大时 , 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求 . 为了提高计算的精确度，我们将 [a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分，然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。 1. 复化梯形公式 将积分区间 等分 , 设 , 则节点为 对每个小区间上应用梯形公式 , 然后将其结果相加，则得 (3.14) 称 (3.14) 式为复化梯形公式 . 当 在 [a,b] 上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式 (3.14) 的余项推导如下： 因为 所以在区间 [a,b] 上公式 (3.14) 的误差为 又因为 在区间 [a,b] 上连续，由连续函数的性质知，在区间 [a,b] 上存在一点 ， 于是 （ 3.15 ） ? ? 复化梯形公式，复化抛物线公式和Romberg求积法的算法程序： 以下程序均定义误差限为1*10^-5; 1)复化梯形公式： #include stdio.h#include math.h#define e 1e-5#define a 0????????????????????????? //积分下限a#define b 1????????????????????????? //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x)))?????????? //被积函数f(x)int main(){??? int i,n;??? double h,t0,t,g;??? n=1;???????????????????????????? //赋初值??? h=(double)(b-a)/2;??? t=h*(f(a)+f(b));??? do???????????????????????????????? {?????? t0=t;????????????????? g=0;?????? for (i=1;i=n;i++)?????????? g+=f((a+(2*i-1)*h));?????? t=(t0/2)+(h*g);??????????????? //复化梯形公式?????? n*=2;?????? h/=2;??? }??? while (fabs(t-t0)e);???????????? //自定义误差限e??? printf(%.8lf,t);??????????????? //输出积分的近似值??return 0;} ? ? 2)复化抛物线公式： #include stdio.h#include math.h#define e 1e-5#define a 0????????????????????????? //积分下限a#define b 1????????????????????????? //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x)))?????????? //被积函数f(x)int main(){??? int i,n;??? double f1,f2,f3,h,s0,s;??? f1=f(a)+f(b);???????????????????? //赋初值??? f2=f(((double)(b+a)/2));??? f3=0;??? s=((double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);??? n=2;??? h=(double)(b-a)/4;??? do??????????????????????????????? //复化抛物线算法??? {????????????????????? f2+=f3;????????????????????? s0=s;????????????????????? f3=0;????????????????????? for (i=1;i=n;i++)????????????????????????? f3+=f((a+(2*i-1)*h));????????????????????? s=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);????????????????????? n*=2;????????????????????? h/=2;????? }??? while (fabs(s-s0)e);?????????????? //自定义误差限??? printf(%.8lf,s);?????