江西理工大学2014年数值分析试卷.docVIP

2013级建测学院《数值分析》期末试卷1 注意：① 答题方式为闭卷。 ② 可以使用计算器。 ( 请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。 填空题 （2 0×2′） 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 位有效数字。 设，‖A‖∞＝＝ ；所以当系数ai(x)满足 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 。 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 。 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 牛顿下山法的下山条件为 。 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ ，(i=0,1,…,n)。 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 。 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 、迭代计算。 判断题(在题目后的( )中填上“√”或“×”。) （10×1′） 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( ) 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ) 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( ) 样条插值一种分段插值。 ( ) 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ) 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 　　( ) 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( ) 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( ) 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( ) 计算题 （5×8′+10′） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi 0 1 2 f(xi) 1 -1 3 f ’(xi) 1 5 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。 4、设y=sinx，当取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数? 5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据： xi -0.11 0.00 1.50 1.80 f(xi) -1.23 -0.10 1.17 1.58 若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。 6