《2016-产品建模技术-第5讲》.ppt

* 为了使P(t)能过Pi点，只要使Pi,Pi+1,Pi+2重合，此时P(t)过Pi点(尖点)，尖点也可通过三重节点的方法得到，与三重顶点的效果相似。 为了使曲线P(t)和某一直线L相切，只要取Pi,Pi+1,Pi+2位于L上及ti+3的重数不大于2。 * 二、 de Boor 算法 * 给定控制顶点Pi(i=0,1,...,n)及节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k]后，就定义了k阶（k-1次）B样条曲线。欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。 1．de Boor 算法的导出 * 现令 可表示为 * 上式是同一条曲线P(t)从k阶B样条表示到k-1阶B样条表示的递推公式，重 于是，P(t)的值可以通过递推关系式(3.1.18)求得。这就是著名的de Boor算法，de Boor 算法的递推关系如图3.1.27所示。 * de Boor 算法的几何意义 * 二、节点插入算法 * 节点插入算法 节点插入算法是B样条方法的重要技术之一。通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。 * 二、 B样条曲面 * 二、B样条曲面 在数学上，可以很容易将参数曲线段拓张为参数曲面片。因为无论是前面的 Bezier 曲线还是Ｂ样条曲线，它们都是由特征多边形控制的。而曲面是由两个方向（比如 u 和 v）的特征多边形来决定，这两个方向的特征多边形构成特征网格。 双二次Bezier曲面和Ｂ样条曲面 * Ｂ样条曲面 从Ｂ样条曲线到Ｂ样条曲面的拓展完全类似于从Bezier曲线到Bezier曲面的拓展。给定了(m+1)(n+1)个空间点列 bi,j (i=0,1,2,…,n; j=0,1,2,…,m)后，可以定义m?n次 B样条曲面片如下式所示： 　 　 * 同样，式中的 Fi,n(u)称为n次Ｂ样条基函数族，连结 bi,j组成的空间网格称为Ｂ特征网格。在实际应用中，最为重要的一种曲面　是双三次Ｂ样条曲面片，此时 m=n=3。其表达式为： * 　式中： 　 　 　其余的[U]、[V]和[b]同Bezier曲面。 * 表达式中的矩阵展开，其实就可以得到如类似于在曲线中的混合函数。如展开[U][N]可得： * 整个Ｂ样条曲面是由Ｂ样条曲面片连接而成的（这正如Ｂ样条曲线），并且在连接处达到了Ｃ2连续，这一点是由三次Ｂ样条基函数族 Fi,j(u) 的连续性保证的。所以，双三次Ｂ样条曲面的突出特点就在于相当轻松地解决了曲面片之间的连接问题。 * B样条曲面 给定参数轴u和v的节点矢量U=[u0,u1,···,um+p]和V=[v1,v2,···,vn+q]，p×q阶B样条曲面定义如下： Pij(i=0,1,···,m;j=0,1,···,n)是给定的空间(m+1)(n+1)个点列，构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。Ni,p(u)和Nj,q(v)是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。B样条曲线的一些几何性质可以推广到B样条曲面，图3.1.33是一张双三次B样条曲面片实例。 * * 三、 B样条曲线曲面插值 * 问题提出 曲线 “逼近” {Vi} {Pi} “插值” {Pi} {Vi} 如何做？ * 问题提出 曲面 “逼近” {Vij} {Pij} “插值” {Pij} {Vij} 两个方向： U向 V向 用于自由型曲线曲面的B样条曲线在表示和设计自由型曲线曲面形状方面显示了强大的威力。然而在表示与设计由二次曲面与平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦。 B样条曲线(面)包括其特例Bézier曲线(面)都只能近似表示除抛物线面外的二次曲线弧(面)。 近似表示将带来处理上的麻烦，使本来简单的问题复杂化，还会带来原不存在的设计误差问题。 解决这一问题的途经显然应该是改造现有的B样条方法， 保留其描述自由型形状长处， 扩充其统一表示二次曲线弧与二次曲面的能力。 人们所寻求的方法就是有理B样条方法。 形状描述中更多地以非均匀类型出现，而均匀、准均匀和分段Bézier曲线(面)三种类型又可看作是非均匀类型的特例，因此，习惯称之为非均匀有理B样条曲线NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) 。 * 有理函数是两个多项式之比；有理样条是两个样条函数之比。 例如，有理B样条曲线可用向量描述为： P(u)=(∑ωkPkBk,d(u))/(∑ωkBk,d(u))。 Pk是n+1个控制