《2016年超越考研暑期强化班讲义《常微分方程》练习题参考答案》.pdf

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常微分方程 P142-练习 1   1.解微分方程xy  y 2 xy . (答案: y 2( x  arctan x)  C ) dy x dy x 解:可分离变量为 2 y x1dx ,两边积分2 y x1dx, 解得 y 2( x  arctan x)  C. 2 x t t (其中 dx 令 x t 2tdt=2 dt=2 t-arctan t C=2( x arctan x) C   2  2   x1 t 1 t 1 2 2.解微分方程(y y cos x)dx(2xysin x)dy 0 . 2 解:P(x) y  ycos x, Q(x) 2xysin x , P(x) Q(x) 由于 2y cosx 在全平面上恒成立,故微分方程为全微分方程. y x 2 原方程整理得y dx 2xydy ycos xdx sin xdy 0 , 2 2 即(y dx xdy ) (yd sin x+sin xdy) 0 , 2 2 2 即d(xy ) d( ysin x) 0  d(xy  ysin x) 0  xy  ysin x C . 故方程的通解为 2 xy  ysin x C P144-练习 2   1.微分方程y  2y  y 0 的通解为y ________ .   2 解:y  2y  y 0 的特征方程为r 2r1 0  r 1, 1,2   故微分方程y  2y  y 0 的通解为 x

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