《L~2（R~d）中MRA小波相位的刻画》.pdf

第 43卷第 17期 数学的实践与认识 V0I．43．NO．17 2013年 9月 MATHEMATICSIN PRACTICEAND THEORY Sep．，2013 2(d)中MRA 小波相位的刻画 李忠艳，徐贞玉 (华北电力大学 数理学院数理系，北京 102206) 摘 要：设 是d×d实扩展矩阵， 是以A为扩展矩阵的小波，．厂是可测函数．如 果对任意以A为扩展矩阵的小波 1fJ，， (其中 表示 1f】的傅立叶变换)的逆傅立叶 变换仍是 以 为扩展矩阵的小波，则称 ．，是以 为扩展矩阵的小波乘子．主要刻画 了 ( )空间中，以行列式绝对值等于 2的整数矩阵为扩展矩阵的MRA小波的 线性相位．利用该结果，具体给出了二维情况下，Haar型和 Shannon型小波在相似 意义下的六类整数扩展矩阵的线性相位的表达形式．最后将具有线性相位的MRA 不可分离小波应用到二维图象的边缘检测上． 关键词：小波相位；扩展矩阵；MRA不可分离小波；边缘检测 1 引言 令 是d×d的实扩展矩阵，即为特征值的绝对值都大于 1的实矩阵．一个以 为扩展 矩阵的小波 (简称A一扩展小波)是指函数 砂∈L。( )，使得集合 {ldetAl苔 (A“t一)：礼∈z，∈z“} 构成 ( )的标准正交基．设函数 f(t)∈L )nL )，它的傅里叶变换定义为 (．厂(t))=f(s)：—1z ／f(t)e dt． 7rJ2 豫 其中，tOs是 向量 t，S∈ 的标准 内积．而其逆傅里叶变换定义为 (，(s))=f(t)= ／，(s)es／otds． 【丌J。√R 令 (z)表示所有 d×d维 (d 2)，且满足 ldetAI=2的矩阵的集合．全文中，我们 所讨论的矩阵A都是属于 (z)的．另外，我们把具有性质 i，l=la-e．的函数 ，叫做 幺 模函数．称可测函数 f∈L。( )是以2丌z 为周期的，如果对于任意的 ∈z 在 碾 上有 f(t+2：rg)=f(t)a．e．．称可测函数 ，是以A为扩展矩阵的小波乘子，如果对任意的一个以 为扩展矩阵的小波 矽，都有 ．厂 的逆傅里叶变换是一个以 为扩展矩阵的小波． 对于一维情况，关于小波相位的一些应用在文献 1【2】中都已经给出了详细的介绍，而在 该文中，我们主要刻画了 。( )(即高维情况)中以 为扩展矩阵的MRA小波的相位及其 在二维图像边缘检测方面的应用． 收稿 日期：2012—1128 资助项目：国家自然科学基金 ；中央高校基本科研业务费专项资金资助；北京市教委共建项甘 17期 李忠艳，等： ( )中MRA小波相位的刻画 155 2 以 A为扩展矩阵的 MRA 小波的相位 我们说函数 f(t)∈L( )具有线性相位，如果它的傅里叶变换为 f(s)=土J．厂(s)Je-zSOaa．e．， 式中a∈ 为常向量，士号与 s无关．如果 s)=F(s)e a+a．e．， 式中Y(s)为实值函数，a∈ 为常向量，b为常数，则称 ，(￡)∈L。( )具有广义线性相位． 而上述二式中的a称作 f(s)的相位． 定义 2．1 L。( )空间中一列闭子空间 { ：J∈z)称为 一扩展多分辨分析 (multi— resolutionanalysis，简写MRA)是指如果它满足如下条件 ： i) c +l， ∈z； ii)n ∈z ={0 U ∈z =L( )； iii)f(t)∈ 当且仅当f(A—Jt)∈ 对于 j-∈z； iv