关于e和ex级数型展开式的规律分析数学专业.doc

关于和级数型展开式的规律分析 xxx xxx大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2009级数学班 指导老师：xx 【摘要】： 众所周知，的幂级数展开形式为： 其中，取时，得到： 下面，我们问：级数 ， ， ， ， 是什么？ 事实上，研究幂函数级数更为方便，因为我们可以用微积分作工具。 对 令 ，由于右端幂级数的收敛半径为：，故对有定义。特别地，当时，有 。 本文通过计算论证，得出： ，其中是关于的一个次多项式这一结论。将多项式的系数作成一个无穷阶的矩阵： ，文中对矩阵的各行、列、斜方向进行分析、总结，从而得出结论。 【关键词】：幂级数的展开；微积分；递推公式；多项式；矩阵 About and series type expansion analysis of the law xxx Grade 2009, Math class, mathematics and applied mathematics major，School of Mathematics Computer science of xxxxxxx Instructor:xx Abstract: As everyone knows , form of power series expansion : Among them, take , are: Below, we ask: what is the progression ， ， ， ， . In fact, research of the power function progression more convenient, because we can use calculus as a tool. For , , due to the radius of convergence of the right end power series are as follows: , Therefore, to is defined.In particular, when , . Demonstrated by calculation, this paper concludes that: , Among them is about x k polynomial of the conclusion.Will of polynomial coefficient into a matrix of infinite order, remember to , of the matrix rows, columns and oblique direction of analysis, summarized, to draw conclusions. Key words: The development of power series ; Differential and integral calculus ;The recursive formula ; Polynomial ; Matrix 在微积分中，我们知道： 更一般地，有： 下面，我们首先来研究，当时， ： 令 猜想1： 其中 。 下面，我们需要验证猜想1是否正确。答案：猜想1正确。 在验证猜想1之前，我们先来讨论当时的情形，即 当时，有： 令 由微积分知： 有上述运算可得下面定理： 定理1 ：满足下列递推公式： 证明： ， 。 由定理1可知： 由上述计算，我们猜想2： 其中，是关于的多项式。 下面我们来验证猜想2是否正确。 因为 所以 则 所以 综上，有以下定理： 定理2 ：满足下列递推公式： 证明：见上述分析。 有定理2知： 于是，有 故，有成立，且是关于的次多项式。 由上述分析，我们可以归纳为： 将多项式的系数排列成一个无穷阶矩阵 ，即： 当时，有以下关系： 因为 所以 即：