函数列三种收敛的关系探究.doc

本 科 生 毕 业 论 文 函数列三种收敛的关系探究 学 号： 2009563018 姓 名： 刘玉良 年 级： 09级本科二班 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 王国贤 完成日期： 2013年4月20日 承 诺 书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日目 录 摘 要 I Abstract II 前 言 1 第一章 基本概念 2 1.1 一致收敛的相关定义 2 1.2 依测度收敛的定义 4 1.3 几乎处处收敛的定义 5 第二章 函数列收敛之间的关系 6 2.1 几乎处处收敛与一致收敛间的关系 6 2.2 依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系 8 2.3 一致收敛与依测度收敛之间的关系 12 2.4 基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系 12 2.5 基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系 13 第三章 利用收敛性的关系解决问题 15 3.1 利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题 15 3.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题 16 3.3 利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题 18 结 论 19 参考文献 20 致 谢 21 摘 要 本文讨论了实数系下函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义及定理，以及四种收敛之间的区别与联系.在有些条件（一般可测集和有限可测集）改变时，这几种收敛性相互之间又没有必然的联系.给定一个函数列，我们在考虑它的收敛性问题时，应该注意各种收敛之间有什么关系以及在什么意义下收敛.对于可测函数列来说，下文所介绍的叶果洛夫定理指出了几乎处处收敛与一致收敛的某种关系，黎斯定理指出了依测度收敛和几乎处处的某种关系，由于函数列一致收敛性有着重要意义，可以预见这一定理有广泛的应用，此外本文引进的依测度收敛的概念是可测函数列最经典的一种收敛，它在概率中有着具体含义.而研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些简单的问题.进而使我们能够对于黎斯定理、叶果洛夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识. 关键字：收敛；一致；依测度；几乎处处；基本上 Abstract This paper discussed the uniform convergence，convergence in measure， almost everywhere convergence，basically uniform convergence definition and theorem in the actual amount，and there is some difference between the four kinds of definitions of convergence. If some conditions (general measurable sets and finite measurable set) are changed，the convergence does not always establish. Given a sequence of function， when we consider convergence，we should pay attention to the relationship between the various convergences and in which sense. Facing to the convergence of measurable function sequence，EropoB theorem pointed out the relationship between almost everywhere convergence and the uniform convergence. Riesz theorem pointed out the relationship between conver