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第四章习题及答案 4-1 已知开环零、极点如图4-1 所示，试绘制相应的根轨迹。 解 根轨如图解4-2所示： 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ； ⑵ ； 解 ⑴ = 系统有三个开环极点：,= -2, = -5 实轴上的根轨迹： , 渐近线： 分离点： 解之得：，(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)= 令 解得 与虚轴的交点（0，）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。 ⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 渐近线： ③ 分离点： 用试探法可得 。根轨迹如图解4-3(b)所示。 4-9 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑶ ； ⑷ 。 解 ⑶ 系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　与虚轴交点：闭环特征方程为 D（s）=s(s+3)(s2+2s+2)+(s+2)=0 把s=j代入上方程，令 解得： ④起始角 根轨迹如图解4-5(c)所示。 ⑷ 系统根轨迹绘制如下： ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　分离点： 解得：d1= -2.26 , d2=0.49 , d3,4= -0.76(舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 D（s）=s(s-1)(s2+4s+16)+(s+1)=0 把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 解得： ⑤　起始角： 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解4-5(d)所示。 课外习题选 4-1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出时的系统闭环传递函数。 （1） （2） 解 （1）做等效开环传递函数 G(s)= ①　实轴上的根轨迹： ②　分离点： 解得：d1= -0.472 (舍去)， d2=-8.472 如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当时，两个闭环特征根为。 此时闭环传递函数为 （2）做等效开环传递函数G(s)= ①　实轴上的根轨迹： ②　分离点： 解得：d= -20 根轨迹如图解4-14(b)所示， 当时，两个闭环特征根为， 此时闭环传递函数为 4-2 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数变化时系统的根轨迹，并分析参数的变化对系统动态性能的影响。 解： 作等效开环传递函数 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 分离点： 解得 d= -30。 根据幅值条件，对应的。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为 把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 解得： ④ 起始角： 参数从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。 从根轨迹图可以看出，当时，系统阶跃响应为单调收敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。 4-3 实系数特征方程 要使其根全为实数，试确定参数的范围。 解 作等效开环传递函数 当时，需绘制根轨迹。 实轴上的根轨迹： ， 渐近线： 分离点： 解得 分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： 根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解4-16(a)可以看出，当时，多项式的根全为实数。 当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：，， 。 由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。 4-3 某单位反馈系统结构图如图4-25所示，试分别绘出控制器传递函数为 ⑴ ⑵ ⑶ 时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器中，零点的取值对系统稳定性的影响。 解 ⑴ 时 系统开环传递函数为G（C）= 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： 根轨迹如图解4-17(a)所示。 ⑵ ； 系统开环传递函数为G（s）=，根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： 根轨迹如图解4-17(b)所示。 ⑶ 系统开环传递函数为G（C）=。 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 渐近线： 根轨迹如图解4-17(c)所示。 从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器的加入使根轨迹向左移动，且当时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。 4-4 某单位反馈系统