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复数十年高考题(带详细解析).doc
复 数
●试题类编
※1.设复数z1=-1+i,z2=i,则arg等于( )
A.-π B.π C.π D.π
2.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
※3.如果θ∈(,π),那么复数(1+i)(cosθ+isinθ)的辐角的主值是( )
A.θ+ B.θ+ C.θ D.θ+
4.复数(i)3的值是( )
A. -i B.i C.-1 D.1
5.如图12—1,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是( )
※6.已知复数z=,则arg是( )
A. B. C. D.
※7.设复数z1=-1-i在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转π后得到向量,令对应的复数z2的辐角主值为θ,则tanθ等于( )
A.2- B.-2+
C.2+ D.-2-
※8.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是( )
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
※9.复数z=(i是虚数单位)的三角形式是( )
A.3[cos()+isin()] B.3(cos+isin)
C.3(cos+isin) D.3(cos+isin)
10.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.设复数z1=2sinθ+icosθ(<θ<在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转π后得到向量,对应的复数为z2=
r(cos+isin),则tan等于( )
A. B.
C. D.
※12.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )
A. B.
C.± D.±
13.复数等于( )
A.1+i B.-1+i
C.1-i D.-1-i
14.设复数z=-i(i为虚数单位),则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是( )
A.3 B.4 C.6 D.7
15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
A.1 B. C.2 D.
二、填空题
16.已知z为复数,则z+>2的一个充要条件是z满足 .
17.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2为实数),定义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2.设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2,点O为坐标原点.如果w1⊙w2=0,那么在△P1OP2中,∠P1OP2的大小为 .
18.若z∈C,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z= .
19.若复数z满足方程i=i-1(i是虚数单位),则z=_____.
20.已知a=(i是虚数单位),那么a4=_____.
21.复数z满足(1+2i)=4+3i,那么z=_____.
三、解答题
22.已知z、w为复数,(1+3i)z为纯虚数,w=,且|w|=5,求w.
23.已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2b=(a+2z)2.
24.已知z7=1(z∈C且z≠1).
(Ⅰ)证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(Ⅱ)设z的辐角为α,求cosα+cos2α+cos4α的值.
※25.已知复数z1=i(1-i)3.
(Ⅰ)求argz1及|z1|;
(Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|z-z1|的最大值.
26.对任意一个非零复数z,定义集合Mz={w|w=z2n-1,n∈N}.
(Ⅰ)设α是方程x+的一个根,试用列举法表示集合Mα;
(Ⅱ)设复数ω∈Mz,求证:MωMz.
27.对任意一个非零复数z,定义集合Mz={w|w=zn,n∈N}.
(Ⅰ)设z是方程x+=0的一个根,试用列举法表示集合Mz.若在Mz中任取两个数,求其和为零的概率P;
(Ⅱ)若集合Mz中只有3个元素,试写出满足条件的一个z值,并说明理由.
28.设复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.
29.已知复数z0=1-mi(M>0),z=x+yi和ω=x′+y′i,其中x,y,x′,y′均
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