曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析4第四章.pdfVIP

第四章：力学量用算符表示 [1]设 是 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] [q, p]=ih, f(q) q 2 （1）[q, p f( q)]= 2hipf. （证明）根据题给的对易式及[q, f(q)]= 0; 2 2 2 2 2 [q, p f]= qp f − p fq= qp f − p qf = qppf − p( pq) f = qppf − p(qp−ih) f = (qp− pq+ hi) pf= 2hipf （2）[q, pf(q) p] = ih( fq+ pf) （证明）同前一论题 [q, pfp] =qpfp− pfpq= qpfp− pf(qp− hi) ~80~ 物83-309 蒋 = qpfp− pfpq+ hipf = qpfp− pqfp+ hipf = (qp− pq) fp+ hipf= hi( fp+ pf) 2 （3）[q, f(q) p ] = 2ihfp [证明]同前一题论据： 2 [q, fp ] = qfpp− fppq= fqpp− fppq = fqpp− fp(qp−hi) = fqpp− fpqp+hifp = f(qp− pq) p+hifp= 2hifp 2 h 2 i （4）[ p, p f( q)] = p f i [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 h i i df [ p, f(q)] = f ( f ) ≡ i dq 2 2 2 2 [ p, p f] = p f − p fp= p ( pf − fp) 2 h 2 i = p [ p, f] = p f i h i （5）[ p, pf(q) p] = pf p i （证明）论据同（4）： 2 2 [ p, pfp] = p fp− pfp = p( pf − fp) p h i = pf p i 2 h i 2 （6）[ p, f(q) p ] = f p i （证明）论据同（4）： 2 2 2 2 h i 2 [ p, fp ] = pfp − fp = ( pf − fp) p = f p i