二次函数综合题的解题策略2.doc

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二次函数综合题的解题策略2

二次函数综合题的解题策略 一、得意知“形”,由“形”想“数” 例1 已知函数y=x2+bx+2的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的关系式; (2)画出它的图象; (3)根据图象指出:当x取何值时,y≥2? 例1分析 首先,利用待定系数法,可以求出b的值,从而获得函数表达式;其次,根据函数关系式不难知“形”用描特殊点法画出函数图象;第三,借助函数图象,由“形”想“数”,要“确定y≥2时,x的取值范围”就是要求位于“直线y=2上方”图象的自变量取值范围. 解 (1)根据题意,得 2=9+3b+2, 解得 b=-3. ∴函数关系式为y=x2-3x+2. (2)易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为(1,0)、(2,0),与y轴的交点坐标为(0,2),对称轴为 .函数y=x2-3x+2的图象如图1所示. (3)根据图象可得,当y=2时,对应的x的值为0和3 .因此,当x≤0或x≥3时,y≥2. 二、函数与方程“攀亲”,由方程求函数 例2 如图2,一元二次方程的两根,(<)是抛物线与轴的两个交点,的横坐标,且此抛物线过点A(3,6). (1)求此二次函数的解析式; (2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标; (3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标. 例2分析 (1)求出方程的两个根,就相当于知道了B,C两点的坐标,进而由A,B,C三点的坐标,利用待定系数法,很让容易求出二次函数的解析式;(2)要求交点Q的坐标,只要函数与方程“攀亲”,将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组,解这个方程组就可得到;(3)要求“MQ+MA”的最小值,只需作点A关于x轴的对称点即可,用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决. 解 (1)解方程,得=-3,=1. 抛物线与x轴的两个交点坐标为:C(-3,0),B(1,0). 将 A(3,6),B(1,0),C(-3,0)代入抛物线的解析式,得 解这个方程组,得 抛物线解析式为. (2)由,得抛物线顶点P的坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-1. 设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A(3,6),C(-3,0)代入,得 解这个方程组,得 直线AC的函数关系式为y=x+3. 由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点, 故解方程组得 点Q坐标为(-1,2). (3)作A点关于x轴的对称点,连接,与轴交点即为所求的点. 设直线的函数关系式为y=kx+b. ∴ 解这个方程组,得 直线的函数关系式为y=-2x. 令x=0,则y=0.点M的坐标为(0,0). 评析 求两个函数图象的交点问题,其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是,若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第(3)问改为“若在y轴上有一动点N,当NQ+NA取得最小值时,求N点的坐标”,请同学们做做看. 三、函数与几何“联姻”,由图形性质建立函数关系式 例3 如图3,在锐角中,,于点,且,点为边上的任意一点,过点作,交于点.设的高为,以为折线将翻折,所得的与梯形重叠部分的面积记为(点关于的对称点落在所在的直线上). (1)分别求出当与时,与的函数关系式; (2)当取何值时,的值最大?最大值是多少? 例3分析 本题所求的“y与x之间的函数关系式”分两种情况:一是点A关于DE的对称点在内,一是点A关于DE的对称点在外.对于第一种情况,其重叠部分就是的面积(也即的面积),此时只要依据相似三角形的性质把高AF,底边DE用含x的关系式表示出来即可;而第二种情况,其重叠部分是一个梯形,求梯形EDPQ的面积即可.最后,要求出重叠部分面积的最大值,同样也需要分两种情况,把每种情况下的最大面积都求出来,然后进行比较. 解 (1)①当时,由折叠得到的落在内部,如图4(1),重叠部分为. , . . .. 即.又, ∴. ②当时,由折叠得到的有一部分落在外部,如图4(2),重叠部分为梯形. , ∴. 又, . . . =. (2)当时,的最大值; 当时,由可知,当时,的最大值. ,当时,有最大值. 评析 二次函数与几何图形相结合的问题,其解题模式是,先根据几何图形本身的性质,表示出线段之间的关系,进而恰当设出变量,得出函数关系式,再根据题目要求得出最终的结论. 同时,在几何图形中求函数关系问题具有一定的实际意义,因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般有约束条件. 综上所述,二次函数综合题,是一类对同学们能力要求高,知识覆盖面广,解题难度大的问题,要求在解题过程中冷静分析,缜密思考,耐心

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