二面角求法.doc

二面角 1 定义法 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1 是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=，故所求二面角 的大小为arctan. 将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的大小为 . 在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos ∠A1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos.更有趣的是，还可求得tan∠O1OC1=，所以二面角A1-BD-C1的为大小为2arctan.又tan∠C1OO1=，所以二面角A1-BD-C1的大小又可为2arctan.其实，三个值都是相等的，那么arccos与2arctan及2arctan就在本质上取得了沟通. 例2如图2(1)，在正三角形ABC 中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起 到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连 接A1B、A1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数值表示). 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△ PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=，故二面角B-A1P-F的大小为. 2 三垂线法 这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面 内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法. 最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作 出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？ 例3如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求： (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－－，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，故二面角A1－－.与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备. 3 垂面法 事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果. 例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别 为4、3、，求二面角的大小. 分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知 l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC. 分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=. 因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为. 分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()， 则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o. 4 面积法 如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便. 例5 如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小. 分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法