二重积分的概念.ppt

第一节 二重积分的概念与性质 一. 二重积分的概念 1．引例——曲顶柱体的体积 曲顶柱体： △ 柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D； △侧面是以D的边界曲线为准线而母线平 行于z轴的柱面； △顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y) ≥0),f在D 上连续。 区域的直径：闭区域上任意两点间距离的 最大值，称为闭区域的直径。 平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积： 体积 = 高（z=常数）× 底面积（区域D的面积） （请回忆在§6—1解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：……） 曲顶柱体的体积V: ①分割：D = △?1∪△?2∪ … ∪△?n V = △V1∪△V2∪ … ∪△Vn (△?i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△?i的直径。) ②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y) 连续，小区域△?i的直径di很小），以点(?i,?i)? △?i的竖坐标f(?i,?i)为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值 △Vi≈f(?i,?i)△?i (i=1,2, … ,n) ③求和： ④取极限： 其中d = max｛d1,d2,…,dn｝,用△?i也示小区域的面积。 2．引例——平面薄片的质量 2.定义（二重积分）： 设z=f(x,y)在区域D上有界，则 ①分割：用平面曲线网将D分成n个小区域 △?1,△?2, … ,△?n 各个小区域的面积是 △?1 ,△?2 ,…,△?n 各个小区域的直径是 d1,d2 ,…,dn ②近似：在各个小区域上任取一点 (?i,?i)?△?i ， 作乘积 f(?i,?i)△?i (i=1,2, … ,n) ③求和： ④取极限：当n→∞且l=max｛d1,d2,…,dn｝→0时， 极限 存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的 二重积分，记为 即 f(x,y) —— 被积函数 f(x,y)d? —— 被积表达式 d? —— 面积元素 x,y —— 积分变量 D —— 积分区域 —— 积分和式 [注记]： ① 在直角坐标系中，??i≈(?xi)(?yi) ? 面积元素 d?=dxdy,故二重积分又有形式 ② 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是 ③ 二重积分的几何意义： △当f(x,y)≥0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积； △当f(x,y)≤0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值； △当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。 ③ 函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必定存在。 ⑤ n→∞(l→0)时，积分和式极限存在，与对D 区域的分法无关，与(?i,?i)?△?i的取法无 关，仅与D和f(x,y)有关。 ⑥ “△?i的直径很小” 与 “△?i的面积很小” 对 于 “近似” 有根本的区别，因此极限过程用 l→0，而不能仅用n→∞来描述。 二．二重积分的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则 特别地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立， 则 ⑹ ⑺ 在D上若m≤f(x,y)≤M ，?为D的面积，则 ⑻ 二重积分中值定理： 设f(x,y)∈C(D)，D为有界闭区域，?为D的面积， 则至少 ?(?,?)∈D， 使 * * o x y z D z=f(x,y) y x z z=f(x,y) o D (?i,?i) △?i · 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积