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圆的定义及性质
教师 陈赣祥 科目 数学 上课日期 总共学时 学生 年级 九年级 上课时间 第几学时 类别 基础 提高 培优 科组长签字 教务主管签字 校区主任签字 一、圆的定义
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心,定长是圆的半径。
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形(运动观点)
圆心半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置。
同心圆:圆心相等、半径不同的两个圆。
等圆:半径相同、圆心不同的两个圆。
圆既是轴对称图形(经过圆心的任一条直线都是对称轴),又是中心对称图形(圆心是对称中心)。
二、点与圆的位置关系
思考:圆周上的点与圆心有什么关系?
圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
由此,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢?
点与圆心的距离为,则点在直线外;
点在直线上;
点在直线内。
注意:这里是等价关系,即由左边可以推出右边,由右边也可以推出左边。
三、过三点的圆
思考:确定一条直线的条件是什么?
类比联想:是否也存在由几个点确定一个圆呢?
讨论:经过一个点,能作出多少个圆?
经过两个点,如何作圆,能作多少个?(线段的垂直平分线)
经过三个点,如何作圆,能作多少个?
结论:不在同一直线上的三点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形。
问题1:如何作三角形的外接圆?如何找三角形的外心?
问题2:三角形的外心一定 在三角形内吗?
四、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角:顶点在圆心的角。
圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角。
弧:优弧、劣弧;同弧、等弧
弦:直径是一条特殊的弦,并且是圆中最大的弦。
弦心距:从圆心到弦的距离。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
思考:什么时候圆周角是直角?反过来呢?
直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?
半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平行这条弦,并且平分弦所对的弧。
注意:定理中的两个条件(直径,垂直于弦)缺一不可!!
推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
总结:垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制)
若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?
说明:(1)见到直径要想到它所对的圆周角是直角
(2)见到弦常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。这样圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。
(3)因为圆的半径相等,所以解与圆有关的题目的时候,常常会出现等腰三角形,从而有角相等。
例题分析
例1:判断下列命题的真假,并说明为什么?
⑴ 平分弦的直径一定垂直于这条弦 ( )
⑵ 在同一平面内,三点确定一个圆 ( )
⑶ 如果弧相等,那么它所对应的圆心角也相等 ( )
⑷ 同圆中两条等弧所对的弦一定相等 ( )
例2:一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( )
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm (D)例3:如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=_______
O中,CD为的直径,AB和EF为圆⊙O的两条弦,并且AB⊥CD,EF⊥CD,你能得到什么结论?
例5:如图,P为⊙O的弦BA延长线上一点,PA=AB=2,PO=5,求⊙O的半径。
例6、如图,⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M,N.且AB=CD,求证:∠AMN=∠CNM
例7、如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理
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