圆和方程知识点整理.doc

关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程: 二、一般方程： 1.表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。3.常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小：点在圆内；点在圆上；点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值 （2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（为圆心到直线的距离）：（1）相离没有公共点；（2）相切只有一个公共点；（3）相交有两个公共点。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线与圆相切意味着什么？圆心到直线的距离恰好等于半径 （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外：如定点，圆：，[] 第一步：设切线方程；第二步：通过，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点作圆的切线，求切线方程. ii）点在圆上：（1）若点在圆上，则切线方程为 （2）若点在圆上，则切线方程为 由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形， 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用 弦长公式： （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题 例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________. 答案： 4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题 1.若圆，关于直线，则实数的值为____. 答案：3（注意：时，，故舍去） 变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________. 2.圆关于直线对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________. 3.圆关于点对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数，满足方程，求： （1）的最大值和最小值；——看作斜率 （2）的最小值；——截距（线性规划） （3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 2.已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！ 3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________. 答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！） 七、圆的参数方程 ，为参数 ；，为参数 八、相关应用 1.若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________. 2.已知圆：，问：是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程，若不存在，说明理由. 提示：或弦长公式. 答案：或 3.已知圆：，点，，设点是圆上的动点，，求的最值及对应的点坐标. 4.已知圆：，直线：（） （1）证明：不论取什么值，直线与圆均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围. 6.已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系 1.判断方法：几何法（为圆心距）：（1）外离 （2）外切 （3）相交 （4）内切 （5）内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题 （1）过两圆：和：交点的圆系方程为（） 说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （2）过直线与圆交点的圆系方程 （3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相