高考数学大题训练54.docVIP

高 考 数 学 大 题 训 练54 1．（本题满分12分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000美元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300美元，请选择一种． 根据上述条件，试问： (1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由) (2)如果第二种方案中的每半年加300美元改成每半年加美元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ 解：(1)第10年末，依第一方案得： (美元) 依第二方案得 (美元) (美元) ∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000美元．………………5分 (2)第年末，依第一方案，得：(美元) 依第二方案，得： …………………………8分 由题意： 对所有正整数恒成立 即 ，总是第二方案加薪多 ……………11分 答：当美元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪. ．（本题满分12分）在锐角中，角的对边分别为， 且 ⑴求的值； ⑵若，的面积为，求的值． 解：（1）由正弦定理得： 又为锐角三角形， 又 （2） （1） 又，由余弦定理得： （2） 由（1）（2）解得： ．(本小题满分13分) 已知函数 (1) 求函数的单调区间； (2) 当时，求函数在上最小值. 解： (1) (), …………………1分 ①当a ≤ 0时，0， 故函数为增函数，即函数的单调递增区间为． …………………3分 ②当时，令，可得, 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为,单调递减区间是. ……………… 6分 (2)①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数, ∴的最小值是. ………………8分 ②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数， ∴的最小值是. ………………10分 ③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数． 所以的最小值产生于与之间， 又， ∴当时,最小值是； 当时,最小值为. ………………12分 综上所述,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是 ………………13分 ．（本题满分14分）已知数列的首项，前n项的和为，且对任意的，总是 与的等差中项． （1）求证：数列是等比数列，并求通项； （2）证明：； （3）若分别为数列的前项和．问：是否存在正整数，使得．若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由． 证：（1）当时， 即 故（） 又，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列。 （2）由（1）知： 要证： 即证： 而： 所以原不等式成立。 （3） 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 因此存在正整数，使得，且所有的集合为 5（本题满分14分）设函数 （1）曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）求证：； （3）求证： 解：（1）由，得 由于曲线在点处的切线与轴平行， 所以 因此： （2）因为 等价于 等价于 令 设 则＇== 当时，＇0,所以在上单调递减，又因为=0，所